[论文解读] Teichmueller flow and Weil-Petersson flow

Ursula Hamenstaedt|arXiv (Cornell University)|May 5, 2015

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 17被引用 4

一句话总结

本文在非例外曲面上的二次微分模空间上，建立了Teichmüller流与Weil-Petersson流之间的可测共轭关系。它在Teichmüller模空间的全测度不变子集上构造了一个可测映射，将Teichmüller流与Weil-Petersson流共轭，并诱导出一个不变概率测度的连续单射，其像包含Lebesgue–Liouville测度但不是满射。

ABSTRACT

For a non-exceptional oriented surface S let Q(S) be the moduli space of area one quadratic differentials. We show that there is a Borel subset E of Q(S) which is invariant under the Teichmueller flow F^t and of full measure for every invariant Borel probability measure, and there is a measurable conjugacy of the restriction of F^t to E into the Weil-Petersson flow. This conjugacy induces a continuous injection H of the space of invariant Borel probability measures for F^t into the space of invariant Borel probability measures for the Weil-Petersson flow. The map H is not surjective, but its image contains the Lebesgue Liouville measure.

研究动机与目标

• 理解Teichmüller流与Weil-Petersson流在二次微分模空间上的动力关系。
• 在Teichmüller模空间的全测度不变子集上，构造两个流之间的可测共轭。
• 分析由该共轭诱导的不变概率测度映射的像，并确定其与Lebesgue–Liouville测度的关系。
• 研究流下的不变测度结构，特别是与遍历性和绝对连续性相关的问题。

提出的方法

• 定义一个Borel子集 𝒫 ⊂ ℚ(S)，其在Teichmüller流下不变，且对每个不变Borel概率测度均为全测度。
• 构造一个可测映射 Λ: 𝒫 → ℚ_WP(S)，将 𝒫 上的Teichmüller流 Φ^t_T 共轭为 ℚ_WP(S) 上的Weil-Petersson流 Φ^t_WP。
• 利用该共轭关系，从 ℚ(S) 上 Φ^t_T-不变的Borel概率测度空间，连续单射地映射到 ℚ_WP(S) 上 Φ^t_WP-不变的Borel概率测度空间。
• 分析该单射的像，证明其包含Weil-Petersson度量下的Lebesgue–Liouville测度，但该映射不是满射，且存在一个不在像中的测度，对应于 ℚ(S) 上的局部有限无限不变Borel测度。
• 应用Wolpert的Fenchel–Nielsen公式来估计Weil-Petersson Kähler形式的体积增长，并证明与距离-角度坐标系中短曲线附近体积增长相关的关键函数 f 关于Lebesgue–Liouville测度的可积性。
• 利用Poincaré递归性与Masur关于唯一遍历测度拉伸的结论，刻画 ℚ_WP(S) 中典型点的性质，并通过在射影测度拉伸空间上的分解方法定义不变测度。

实验结果

研究问题

• RQ1 在面积为1的二次微分模空间上，Teichmüller流与Weil-Petersson流之间是否存在可测共轭？
• RQ2 该共轭诱导的不变测度映射是否保持遍历性与单射性？其像为何？
• RQ3 Weil-Petersson流下的Lebesgue–Liouville测度能否作为Teichmüller不变测度的像被实现？
• RQ4 Weil-Petersson模空间中典型点的集合结构如何？它们与不变测度有何关联？
• RQ5 两流的动力性质如何比较，特别是关于熵与不变测度的绝对连续性？

主要发现

• 存在一个Borel子集 𝒫 ⊂ ℚ(S)，对每个 Φ^t_T-不变的Borel概率测度均为全测度，且在Teichmüller流下不变。
• 存在一个可测映射 Λ: 𝒫 → ℚ_WP(S)，将 Φ^t_T|𝒫 共轭为 Φ^t_WP。
• 该共轭关系诱导出从 ℚ(S) 上 Φ^t_T-不变Borel概率测度空间到 ℚ_WP(S) 上 Φ^t_WP-不变Borel概率测度空间的连续单射。
• 该单射的像包含Weil-Petersson度量下的Lebesgue–Liouville测度，但该映射不是满射。
• 一个不在像中的测度对应于 ℚ(S) 上的局部有限无限不变Borel测度。
• 与距离-角度坐标系中短曲线附近体积增长相关的函数 f 关于Lebesgue–Liouville测度 ν 是可积的，从而确认了该构造的测度论一致性。