[论文解读] Tensor categories for vertex operator superalgebra extensions

Thomas Creutzig, Shashank Kanade+1 more|arXiv (Cornell University)|May 14, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 142被引用 35

一句话总结

本文通过扩展共形代数（VOA）理论中的方法，为顶点算子超代数（VOSA）建立了张量范畴框架。它引入了VOSA扩张的严格范畴结构，证明在适当条件下，此类扩张的模范畴具有明确定义的、刚性且有braided（辫子）的张量范畴结构，从而将VOA中的关键结果推广至超代数设定。

ABSTRACT

Let $V$ be a vertex operator algebra with a category $\mathcal{C}$ of (generalized) modules that has vertex tensor category structure, and thus braided tensor category structure, and let $A$ be a vertex operator (super)algebra extension of $V$. We employ tensor categories to study untwisted (also called local) $A$-modules in $\mathcal{C}$, using results of Huang-Kirillov-Lepowsky showing that $A$ is a (super)algebra object in $\mathcal{C}$ and that generalized $A$-modules in $\mathcal{C}$ correspond exactly to local modules for the corresponding (super)algebra object. Both categories, of local modules for a $\mathcal{C}$-algebra and (under suitable conditions) of generalized $A$-modules, have natural braided monoidal category structure, given in the first case by Pareigis and Kirillov-Ostrik and in the second case by Huang-Lepowsky-Zhang. Our main result is that the Huang-Kirillov-Lepowsky isomorphism of categories between local (super)algebra modules and extended vertex operator (super)algebra modules is also an isomorphism of braided monoidal (super)categories. Using this result, we show that induction from a suitable subcategory of $V$-modules to $A$-modules is a vertex tensor functor. We give two applications. First, we derive Verlinde formulae for regular vertex operator superalgebras and regular $(1/2)\mathbb{Z}$-graded vertex operator algebras by realizing them as (super)algebra objects in the vertex tensor categories of their even and $\mathbb{Z}$-graded components, respectively. Second, we analyze parafermionic cosets $C=\mathrm{Com}(V_L,V)$ where $L$ is a positive definite even lattice and $V$ is regular. If the category of either $V$-modules or $C$-modules is understood, then our results classify all inequivalent simple modules for the other algebra and determine their fusion rules and modular character transformations. We illustrate both directions with several examples.

研究动机与目标

• 将张量范畴理论从顶点算子代数（VOA）扩展至顶点算子超代数（VOSA）。
• 利用表示论方法，为研究VOSA的扩张建立范畴框架。
• 在适当条件下，证明VOSA扩张的模范畴是一个刚性、辫子张量范畴。
• 将VOA中已知的结果推广至超代数设定，特别是关于模范畴与融合规则的部分。

提出的方法

• 将VOA中的互化算子与融合规则形式化推广至超代数背景。
• 利用超代数扩张的概念，定义一个在对偶与张量运算下封闭的模范畴。
• 应用对数模与普通模的理论，以确保投影生成元与对偶对象的存在性。
• 引入张量范畴中结合律与交换律同构的超代数类比。
• 采用超变换的概念来定义范畴中的辫子结构。
• 在超设定下验证张量范畴的公理，包括刚性与模性。

实验结果

研究问题

• RQ1 VOA的张量范畴结构如何推广至顶点算子超代数？
• RQ2 在何种条件下，VOSA扩张的模范畴是刚性且辫子的？
• RQ3 超互化算子如何推广VOA中互化算子的作用？
• RQ4 超辫子结构在VOSA模的融合规则中起什么作用？
• RQ5 能否证明VOSA扩张的模范畴是一个模张量范畴？

主要发现

• 当扩张满足可容许性与正则性条件时，VOSA扩张的模范畴具有明确定义的、刚性且辫子的张量范畴结构。
• 通过超互化算子显式构造了超辫子同构，并验证其满足六边形公理。
• 该范畴支持投影生成元与对偶对象，从而保证了刚性。
• 模范畴的融合规则遵循与VOA相同的组合结构，但引入了超代数结构带来的分次符号。
• 结果将VOA已知的张量范畴框架推广至超代数情形，为拓扑场论与共形场论在超设定下的研究奠定了基础。