[论文解读] Tensor network decompositions for absolutely maximally entangled states

Balázs Pozsgay, Ian M. Wanless|arXiv (Cornell University)|Aug 14, 2023

Quantum Computing Algorithms and ArchitectureComputer Science参考文献 50被引用 3

一句话总结

本文提出了一种使用小型对称四腿张量的张量网络分解方法，用于构造绝对最大纠缠（AME）态，证明当局部维度 D ≥ 5 时，六-qudit 的 AME 态可仅通过三个两站点酉操作构建；当 D ≥ 7 时，八-qudit 的 AME 态可仅通过六个两站点酉操作构建。关键贡献在于提出了一种系统化方法，将完美张量分解为更小、物理上可实现的组件，从而实现这些高度纠缠态的高效量子线路实现。

ABSTRACT

Absolutely maximally entangled (AME) states of $k$ qudits (also known as perfect tensors) are quantum states that have maximal entanglement for all possible bipartitions of the sites/parties. We consider the problem of whether such states can be decomposed into a tensor network with a small number of tensors, such that all physical and all auxiliary spaces have the same dimension $D$. We find that certain AME states with $k=6$ can be decomposed into a network with only three 4-leg tensors; we provide concrete solutions for local dimension $D=5$ and higher. Our result implies that certain AME states with six parties can be created with only three two-site unitaries from a product state of three Bell pairs, or equivalently, with six two-site unitaries acting on a product state on six qudits. We also consider the problem for $k=8$, where we find similar tensor network decompositions with six 4-leg tensors.

研究动机与目标

• 研究绝对最大纠缠（AME）态是否可被分解为仅含少量对称四腿张量的张量网络。
• 开发一种仅使用少量两站点酉操作来构建 AME 态的方法，与标准图态构造相比降低线路深度。
• 通过将完美张量分解为更小、物理上可实现的组件，探索完美张量的结构特性。
• 确定此类分解在局部维度 D 下的最小值，特别是针对 k=6 和 k=8 的 qudit 系统。
• 通过展示基本多腿张量可被分解为更简单的构建模块，为全息量子纠错码的理解做出贡献。

提出的方法

• 作者利用有限域上的线性代数构造方法，生成表示完美张量的超正则矩阵。
• 应用基于柯西矩阵的分解方案，将 k 腿完美张量分解为四腿张量的网络。
• 通过将原始张量表示为更小张量的收缩（contraction），实现该分解，每个小张量对应一个两站点酉相互作用。
• 该方法依赖于存在可逆的 2×2 矩阵 A^(ij)，使得通过张量收缩可重构完整张量 G。
• 通过在 GF(5)、GF(8) 和 GF(11) 上的显式例子验证该构造，其中所有子式均非零，确保完美纠缠。
• 该方法具有概率性质，表明当 D 较大时，通过线性映射构造的几乎所有完美张量都具有可分解性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 D ≥ 5 的 k=6 qudit 系统，能否仅使用三个四腿张量将绝对最大纠缠态分解为张量网络？
• RQ2 对于 k=8 qudit 系统，能否类似地使用六个四腿张量实现分解？该分解在何种最小 D 下成立？
• RQ3 准备给定 AME 态所需的最少两站点酉操作数量是多少？与标准图态构造相比有何差异？
• RQ4 在何种局部维度 D 和域结构条件下，可将完美张量分解为更小的对称张量？
• RQ5 是否存在一个通用理论，用于将完美张量或平面最大纠缠态分解为更小酉相互作用的网络？

主要发现

• 对于 k=6 qudit 系统，当 D ≥ 5 时，AME 态可仅通过三个四腿张量构建，对应仅需六个作用于乘积态的两站点酉操作。
• 对于 k=8 qudit 系统，当 D ≥ 7 时，可实现由六个四腿张量构成的分解，意味着仅需十二个两站点门的量子线路即可实现。
• 在 GF(5)、GF(8) 和 GF(11) 上提供了显式构造，所有结果矩阵的子式均非零，确认了完美纠缠。
• 该方法表明，对于固定的 k 且 D 较大时，随机选择的完美张量具有可分解性的概率趋近于 1。
• 结果表明，对于 qubit 基的 AME 态（D=2），此类分解可能无法实现，因为 D=2 时不存在完美四腿张量。
• 作者推测，在该框架下，D=2、3、4 的 AME 态可能为不可分解态，与在更高 D 下观察到的可分解性形成对比。