[论文解读] Test vectors for finite periods and base change

U. K. Anandavardhanan, Nadir Matringe|arXiv (Cornell University)|May 10, 2018

Advanced Algebra and Geometry参考文献 22被引用 3

一句话总结

本文为 $\mathrm{GL}_n(E)$ 上一个通解、$H$-可区分表示 $\pi$ 的 Whittaker 模型中唯一的 $H$-不变向量提供了显式公式，其中 $H$ 为 $\mathrm{GL}_n(F)$ 或 $\mathrm{U}(n,E/F)$，并利用 $\pi$ 的贝塞尔函数。关键结果将贝塞尔函数在单位矩阵处的 $H$-平均值表示为基变更表示维数之比，将可区分性与有限域和 $p$-进域设置下的基变更联系起来。

ABSTRACT

Let $E/F$ be a quadratic extension of finite fields. By a result of Gow, an irreducible representation $π$ of $G = { m GL}_n(E)$ has at most one non-zero $H$-invariant vector, up to multiplication by scalars, when $H$ is ${ m GL}_n(F)$ or ${ m U}(n,E/F)$. If $π$ does have an $H$-invariant vector it is said to be $H$-distinguished. It is known, from the work of Gow, that $H$-distinction is characterized by base change from ${ m U}(n,E/F)$, due to Kawanaka, when $H$ is ${ m GL}_n(F)$ (resp. from ${ m GL}_n(F)$, due to Shintani, when $H$ is ${ m U}(n,E/F)$). Assuming $π$ is generic and $H$-distinguished, we give an explicit description of the $H$-invariant vector in terms of the Bessel function of $π$. Let $ψ$ be a non-degenerate character of $N_G/N_H$ and let $B_{π,ψ}$ be the (normalized) Bessel function of $π$ on the $ψ$-Whittaker model. For the $H$-average \[W_{π,ψ} = \frac{1}{|H|} \sum_{h\in H} π(h) B_{π,ψ}\] of the Bessel function, we prove that \[W_{π,ψ}(I_n) = \frac{{ m dim}ρ}{{ m dim} π} \cdot \frac{|{ m GL}_n(E)|}{|{ m GL}_n(F)| |{ m U}(n,E/F)|},\] where $ρ$ is the representation of ${ m U}(n,E/F)$ (resp. ${ m GL}_n(F)$) that base changes to $π$ when $H$ is ${ m GL}_n(F)$ (resp. ${ m U}(n,E/F)$). As an application we classify the members of a generic $L$-packet of ${ m SL}_n(E)$ that admit invariant vectors for ${ m SL}_n(F)$. Finally we prove a $p$-adic analogue of our result for square-integrable representations in terms of formal degrees by employing the formal degree conjecture of Hiraga-Ichino-Ikeda \cite{hii08}.

研究动机与目标

• 显式描述 $\mathrm{GL}_n(E)$ 上一个通解、$H$-可区分表示 $\pi$ 的 Whittaker 模型中唯一的 $H$-不变向量，其中 $H$ 为 $\mathrm{GL}_n(F)$ 或 $\mathrm{U}(n,E/F)$。
• 建立 $\pi$ 的贝塞尔函数在单位矩阵处的 $H$-平均值的精确公式。
• 通过涉及维数与形式度数的显式公式，将 $H$-可区分性与 $\mathrm{U}(n,E/F)$ 或 $\mathrm{GL}_n(F)$ 的基变更联系起来。
• 利用 Hiraga-Ichino-Ikeda 的形式度数猜想，将有限域结果推广至 $p$-进域设置。
• 分类 $\mathrm{SL}_n(E)$ 的通解 $L$-包中哪些表示允许 $\mathrm{SL}_n(F)$-不变向量。

提出的方法

• 作者使用 $\mathrm{GL}_n(E)$ 上通解表示 $\pi$ 的 $\psi$-Whittaker 模型，其中 $\psi$ 是在 $N_H$ 上平凡的非退化特征，并定义归一化的贝塞尔函数 $B_{\pi,\psi}$。
• 他们计算贝塞尔函数的 $H$-平均值：$W_{\pi,\psi}(I_n) = \frac{1}{|H|} \sum_{h \in H} \pi(h) B_{\pi,\psi}$，并推导其在单位矩阵处的取值。
• 关键恒等式为 $W_{\pi,\psi}(I_n) = \frac{\dim \rho}{\dim \pi} \cdot \frac{|\mathrm{GL}_n(E)|}{|\mathrm{GL}_n(F)| \cdot |\mathrm{U}(n,E/F)|}$，其中 $\rho$ 是从 $H$ 基变更得到的表示。
• 在 $p$-进域情形下，他们利用 Hiraga-Ichino-Ikeda 的形式度数猜想，将 $\pi$ 的形式度数与基变更表示 $\rho$ 的形式度数联系起来，从而得到有限域结果的 $p$-进域类比。
• 他们利用 $L$-函数的函数方程与 $\varepsilon$-因子，特别是 $\gamma(s, \pi, r, \psi)$，将 $L$-值之比与形式度数之比联系起来。
• 他们应用已知结果：对平方可积、可区分表示，有 $\varepsilon(1/2, \pi, r, \psi) = 1$，以简化最终表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $\mathrm{GL}_n(E)$ 上一个通解、$H$-可区分表示 $\pi$，其贝塞尔函数在单位矩阵处的 $H$-平均值的显式值是什么？
• RQ2 Whittaker 模型中的 $H$-不变向量如何与从 $H$ 基变更得到的表示 $\rho$ 相关联？
• RQ3 能否利用形式度数猜想，将有限域上的测试向量结果推广至 $p$-进域设置？
• RQ4 在 $p$-进域情形下，$\pi$ 的形式度数与基变更表示 $\rho$ 的维数之间的确切关系是什么？
• RQ5 在 $\mathrm{SL}_n(E)$ 的通解 $L$-包中，哪些表示允许 $\mathrm{SL}_n(F)$-不变向量？

主要发现

• 在单位矩阵处，$H$-平均值为 $W_{\pi,\psi}(I_n) = \frac{\dim \rho}{\dim \pi} \cdot \frac{|\mathrm{GL}_n(E)|}{|\mathrm{GL}_n(F)| \cdot |\mathrm{U}(n,E/F)|}$，其中 $\rho$ 是从 $H$ 基变更得到的表示。
• 在 $p$-进域情形下，对平方可积表示，Whittaker 模型上的线性泛函 $\lambda$ 满足 $\lambda \sim \frac{d(\rho)}{d(\pi)} \cdot \ell$，其中 $d(\cdot)$ 表示形式度数。
• $\varepsilon$-因子 $\varepsilon(1/2, \pi, r, \psi) = 1$ 对于平方可积、$H$-可区分表示成立，简化了函数方程分析。
• 该结果表明，$H$-不变向量由贝塞尔函数与基变更表示显式确定，比例常数通过形式度数猜想明确给出。
• 本文利用测试向量公式对 $\mathrm{SL}_n(E)$ 的通解 $L$-包中 $\mathrm{SL}_n(F)$-不变向量进行了分类。
• 有限域结果被证明是 $p$-进域结果的有限域类比，其中在适当归一化下，贝塞尔函数满足 $\ell(B_{\pi}) = 1$。