[论文解读] The asymptotic number of $12..d$-Avoiding Words with $r$ occurrences of each letter $1,2, ..., n$

Guillaume Chapuy|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2014

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 5被引用 3

一句话总结

本文建立了长度为 $rn$、每个字母 $1$ 到 $n$ 恰好出现 $r$ 次且不包含长度为 $d+1$ 的递增子序列的单词数量的首个显式渐近公式。通过 RSK 对应关系和 Kostka 数的雅可比-特鲁迪行列式上的鞍点分析，作者推导出一个精确的渐近表达式，其中乘性常数 $C_{d+1,r}$ 显式计算得出，解决了 Ekhad 与 Zeilberger 的一个猜想，并将 Regev 对 $r=1$ 的结果推广至一般 $r$。该结果确认了指数增长速率，并修正了通用 $r$ 情况下的次指数前因子。主要贡献在于渐近公式中乘性常数的闭式表达。

ABSTRACT

Following Ekhad and Zeilberger (The Personal Journal of Shalosh B. Ekhad and Doron Zeilberger, Dec 5 2014; see also arXiv:1412.2035), we study the asymptotics for large $n$ of the number $A_{d,r}(n)$ of words of length $rn$ having $r$ letters $i$ for $i=1..n$, and having no increasing subsequence of length $d$. We prove an asymptotic formula conjectured by these authors, and we give explicitly the multiplicative constant appearing in the result, answering a question they asked. These two results should make the OEIS richer by 100+25=125 dollars. In the case $r=1$ we recover Regev's result for permutations. Our proof goes as follows: expressing $A_{d,r}(n)$ as a sum over tableaux via the RSK correspondence, we show that the only tableaux contributing to the sum are "almost" rectangular (in the scale $\sqrt{n}$). This relies on asymptotic estimates for the Kotska numbers $K_{λ,r^n}$ when $λ$ has a fixed number of parts. Contrarily to the case $r=1$ where these numbers are given by the hook-length formula, we don't have closed form expressions here, so to get our asymptotic estimates we rely on more delicate computations, via the Jacobi-Trudi identity and saddle-point estimates.

研究动机与目标

• 解决 Ekhad 与 Zeilberger 关于长度为 $rn$、每个字母 $1,\dots,n$ 恰好出现 $r$ 次且不包含 $12\dots d$ 子序列的单词数量的渐近行为的猜想。
• 为渐近公式中乘性常数 $C_{d+1,r}$ 提供显式表达式，该常数此前仅对较小的 $d$ 和 $r$ 有猜想。
• 将 Regev 对 $r=1$ 的结果（即避免长度为 $d+1$ 的递增子序列的排列）推广至一般 $r \geq 1$ 的情形。
• 分析当 $n \to \infty$ 时，Kostka 数 $K_{\lambda,r^n}$ 在 $d$ 部分的分拆 $\lambda$ 上的渐近行为，重点关注在 $\sqrt{n}$ 尺度下接近矩形形状的情形。

提出的方法

• 利用 RSK 对应关系，将 $A_{d+1,r}(n)$ 表示为最多 $d$ 个部分的分拆 $\lambda$ 的和，其中每一项为 $f_\lambda g_\lambda^{(r)}$ 的乘积，$f_\lambda$ 为标准杨表的个数，$g_\lambda^{(r)} = K_{\lambda,r^n}$ 为 Kostka 数。
• 使用雅可比-特鲁迪恒等式将 Schur 函数 $s_\lambda$ 表示为完全对称函数的行列式，从而可应用生成函数技术。
• 通过留数定理，对 $K_{\lambda,r^n}$ 应用多变量围道积分表示，将 Kostka 数表示为包含范德蒙德行列式的 $d$ 重围道积分。
• 对积分表示进行鞍点分析，聚焦于那些部分接近 $rn/d$（按 $\sqrt{n}$ 缩放）的分拆 $\lambda$，以分离出主导渐近项。
• 通过一致估计和控制收敛定理，对 $\lambda_i$ 适当缩放后，在单纯形 $\sum z_i = 0$，$z_1 < \dots < z_d$ 上计算极限积分。
• 利用 Regev（1981）的已知结果计算所得高斯积分，并结合缩放因子，推导出 $C_{d+1,r}$ 的最终闭式表达。

实验结果

研究问题

• RQ1 长度为 $rn$、每个字母 $1,\dots,n$ 恰好出现 $r$ 次且不包含长度为 $d+1$ 的递增子序列的单词数量的精确渐近增长率是什么？
• RQ2 对于一般 $d \geq 2$ 和 $r \geq 1$，渐近公式中 $A_{d+1,r}(n)$ 的乘性常数 $C_{d+1,r}$ 是否可以显式计算？
• RQ3 在 RSK 求和中，贡献的杨表在 $n \to \infty$ 时的渐近行为如何？它们是否在 $\sqrt{n}$ 尺度下集中在接近矩形的形状附近？
• RQ4 当 $n$ 很大且 $\lambda$ 接近矩形形状 $(n/d,\dots,n/d)$ 时，分拆 $\lambda$ 有 $d$ 个部分且总大小为 $rn$ 的 Kostka 数 $K_{\lambda,r^n}$ 的渐近行为如何？
• RQ5 对雅可比-特鲁迪行列式应用鞍点方法，是否能对 $K_{\lambda,r^n}$ 获得一致的渐近估计，使得对 $\lambda$ 的求和可近似为积分？

主要发现

• 建立了 $A_{d+1,r}(n)$ 的渐近公式：$A_{d+1,r}(n) \sim C_{d+1,r} \cdot n^{-\frac{(d+1)(d-1)}{2}} \left[d^r \binom{r+d-1}{d-1}\right]^n$，其中 $C_{d+1,r}$ 显式计算得出。
• 乘性常数为 $C_{d+1,r} = \frac{\sqrt{d} \cdot \prod_{i=1}^{d-1} i!}{(2\pi)^{\frac{d}{2} - \frac{1}{2}}} \left(\frac{d(d+1)}{r(2d+r+1)}\right)^{\frac{(d-1)(d+1)}{2}}$，解决了关于该常数值的猜想。
• RSK 对应求和中的主导贡献来自那些部分与矩形形状 $(rn/d, \dots, rn/d)$ 的偏差在 $O(\sqrt{n})$ 范围内的分拆 $\lambda$，证实了‘几乎矩形’的集中性。
• 通过雅可比-特鲁迪行列式上的鞍点分析，对 Kostka 数 $K_{\lambda,r^n}$ 进行了渐近估计，积分表示使得对指数项和多项式项的控制更加精确。
• 非主导杨表（位于矩形形状 $\sqrt{n}$ 邻域之外）的误差被证明是指数级小的，从而支持了积分近似。
• 最终在单纯形 $\sum z_i = 0$，$z_1 < \dots < z_d$ 上的积分，利用 Regev（1981）的已知结果进行计算，从而实现了闭式常数 $C_{d+1,r}$ 的推导。