[论文解读] The Borel subgroup and branes on the Higgs moduli space

Emilio Franco, Ana Peón‐Nieto|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 24被引用 3

一句话总结

本文在光滑射影曲线的Higgs丛模空间的奇异点集上构造了两类膜——由Cartan子群生成的(BBB)-膜和由幂零根子群生成的(BAA)-膜。通过展示一种临时的傅里叶–穆凯伊变换将(BBB)-膜在一般Hitchin纤维上的限制与(BAA)-膜的支撑集联系起来，提供了镜像对称对偶性的证据，该构造被推广至抛物子群并覆盖了整个奇异点集。

ABSTRACT

We consider two families of branes supported on the singular locus of the moduli space of Higgs bundles over a smooth projective curve $X$. On the one hand, a (BBB)-brane $\mathbf{Car}(\mathcal{L})$ constructed from the Cartan subgroup and a topologically trivial line bundle $\mathcal{L}$ on $\mathrm{Jac}^0(X)$. On the other hand, a (BAA)-brane $\mathbf{Uni}(\mathcal{L})$ associated to the unipotent radical of the Borel subgroup and the previous line bundle $\mathcal{L}$. We give evidence of both branes being dual under mirror symmetry, in the sense that an ad-hoc Fourier--Mukai integral functor relates the restriction of the hyperholomorphic bundle of the (BBB)-brane to a generic Hitchin fibre, with the support of the (BAA)-brane. We provide analogous constructions of (BBB)-branes and (BAA)-branes associated to a choice of a parabolic subgroup $\mathrm{P}$ with Levi subgroup $\mathrm{L}$, obtaining families of branes which cover the whole singular locus of the moduli space.

研究动机与目标

• 在光滑射影曲线的Higgs模空间奇异点集上构造(BBB)-膜与(BAA)-膜。
• 通过傅里叶–穆凯伊积分函子建立这两类膜在镜像对称下的对偶性。
• 将构造推广至具有Lévi子群的抛物子群，覆盖模空间的整个奇异点集。
• 通过显式积分变换将(BBB)-膜在一般Hitchin纤维上的限制与(BAA)-膜的支撑集联系起来。

提出的方法

• 利用曲线的雅可比簇上拓扑平凡线丛$\mathcal{L}$与Cartan子群构造(BBB)-膜，记为$\mathbf{Car}(\mathcal{L})$。
• 利用Borel子群的幂零根子群与同一根线丛$\mathcal{L}$构造(BAA)-膜，记为$\mathbf{Uni}(\mathcal{L})$。
• 定义一种临时的傅里叶–穆凯伊积分函子，将(BBB)-膜在一般Hitchin纤维上的限制映射至(BAA)-膜的支撑集。
• 将构造推广至任意抛物子群$\mathrm{P}$及其Lévi子群$\mathrm{L}$，生成覆盖奇异点集的膜族。
• 利用Higgs模空间上的全纯化丛结构定义相关的几何与层论对象。
• 借助Hitchin纤维化及其奇异点集的几何性质，确保膜在正确子簇上良好定义且被正确支撑。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何从曲线的雅可比簇上的Cartan子群与拓扑平凡线丛构造(BBB)-膜？
• RQ2 幂零根子群在Higgs模空间奇异点集上构造(BAA)-膜的过程中起什么作用？
• RQ3 是否存在(BBB)-膜与(BAA)-膜之间的镜像对称对偶性？若存在，如何通过傅里叶–穆凯伊变换实现？
• RQ4 该膜的构造能否推广至具有Lévi子群的抛物子群，以覆盖整个奇异点集？
• RQ5 在该对偶性下，(BBB)-膜在一般Hitchin纤维上的限制与(BAA)-膜的支撑集之间有何关系？

主要发现

• 由Cartan子群与雅可比簇上拓扑平凡线丛$\mathcal{L}$构造的(BBB)-膜$\mathbf{Car}(\mathcal{L})$在奇异点集上定义良好，构成一个明确的膜结构。
• 由Borel子群的幂零根子群与同一根线丛$\mathcal{L}$生成的(BAA)-膜$\mathbf{Uni}(\mathcal{L})$形成对偶膜结构。
• 一种临时的傅里叶–穆凯伊积分函子将(BBB)-膜在一般Hitchin纤维上的限制映射至(BAA)-膜的支撑集，为镜像对称对偶性提供了证据。
• 该构造可推广至任意抛物子群$\mathrm{P}$及其Lévi子群$\mathrm{L}$，生成覆盖Higgs模空间整个奇异点集的膜族。
• 通过尊重模空间上全纯化丛结构的几何积分变换，实现了(BBB)-膜与(BAA)-膜之间的对偶性。
• 研究结果建立了一个系统化的框架，通过子群结构与层论函子，实现对Higgs模空间奇异点集上膜的构造与关联。