[论文解读] The Brauer-Picard groups of the fusion categories coming from the $ADE$ subfactors

Cain Edie-Michell|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 27被引用 5

一句话总结

本文通过分析其提升中心的辫自同构，计算了来自ADE子因子及其伽罗瓦共轭的融合范畴的布劳尔-皮卡德群。利用平面代数表示和组合技术，作者确定了这些群的完整结构，关键结果为D10子因子的偶部具有布劳尔-皮卡德群S3 × S3。

ABSTRACT

We compute the group of Morita auto-equivalences of the even parts of the $ADE$ subfactors, and Galois conjugates. To achieve this we study the braided auto-equivalences of the Drinfeld centres of these categories. We give planar algebra presentations for each of these Drinfeld centres, which we leverage to obtain information about the braided auto-equivalences of the corresponding categories. We also perform the same calculations for the fusion categories constructed from the full $ADE$ subfactors. Of particular interest, the even part of the $D_{10}$ subfactor is shown to have Brauer-Picard group $S_3 imes S_3$. We develop combinatorial arguments to compute the underlying algebra objects of these invertible bimodules.

研究动机与目标

• 计算ADE子因子偶部及其伽罗瓦共轭的布劳尔-皮卡德群。
• 建立通过提升中心的辫自同构计算莫里塔自同构的方法。
• 为ADE融合范畴的提升中心提供平面代数表示。
• 使用组合技术确定可逆双模及其底层代数对象的结构。
• 扩展对由弗罗贝尼乌斯-佩尔松维数小于2的对象生成的融合范畴的分类，基于莫里森和辛普森的猜想。

提出的方法

• 利用同构BrPic(C) ≅ Autbr(Z(C))，通过提升中心的辫自同构计算布劳尔-皮卡德群。
• 使用平面代数表示来建模ADE融合范畴及其辫结构的提升中心。
• 应用平面代数自同构来计算典范和辫自同构，重点在于函子之间的自然同构。
• 利用归纳矩阵和融合规则，确定伴随子范畴上可逆双模的群结构。
• 使用组合论证对张量范畴中的代数对象进行分类，特别针对D10和A7。
• 通过自然同构建立平面代数自同构与基于典范自同构之间的对应关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 D10子因子偶部的布劳尔-皮卡德群结构是什么？
• RQ2 提升中心的辫自同构如何与原始融合范畴的莫里塔自同构相关联？
• RQ3 平面代数自同构在计算ADE融合范畴自同构中起什么作用？
• RQ4 伽罗瓦共轭和模辫结构如何影响布劳尔-皮卡德群的结构？
• RQ5 伴随子范畴中的哪些代数对象会产生可逆双模，且此类结构共有多少种？

主要发现

• D10子因子偶部的布劳尔-皮卡德群同构于S3 × S3。
• 对于A7融合范畴，其伴随子范畴的布劳尔-皮卡德群同构于Z/2Z。
• 当N=5时，D2N的偶部的布劳尔-皮卡德群为S3；当N≠5时，其为Z/2Z。
• D10偶部的提升中心包含六个可逆双模，分别来自代数对象1、1⊕f(2)、1⊕P、1⊕Q和1⊕f(6)，其中后两者具有两种不同的代数结构。
• 群Autbr(Z(Ad(A7)))同构于D2⋅4，可逆双模的群结构通过Ad(A7)的简单对象上的归纳矩阵确定。
• 平面代数自同构群同构于关联范畴的基于典范自同构群，模去自然同构。