[论文解读] The case of a generalised linear discrete time system with infinite many solutions

Nicholas Apostolopoulos, Fernando Ortega+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 4, 2016

Stability and Control of Uncertain Systems参考文献 23被引用 4

一句话总结

本文针对广义线性离散时间系统在系数矩阵奇异且初始条件不一致时，提出了一种最优解，此时唯一解不存在。利用矩阵束理论和Weierstrass标准型，通过投影到有限特征结构的列空间，推导出一种闭式、最小二乘最优解，最小化给定初始条件与扰动后初始条件之间的2-范数误差。

ABSTRACT

In this article we study a class of generalised linear systems of difference equations with given non-consistent initial conditions and infinite many solutions. We take into consideration the case that the coefficients are square constant matrices with the leading coefficient singular. We provide optimal solutions and numerical examples to justify our theory.

研究动机与目标

• 解决广义线性离散时间系统在初始条件不一致时缺乏唯一解的问题。
• 为系统由于主系数矩阵奇异而导致无穷多解的情况，提供一种系统化的最优解计算方法。
• 将现有关于正则矩阵束的结果推广，以处理离散系统中非一致初始条件的情形。
• 基于Weierstrass标准型与正交投影，建立一种计算上可行的最优解公式。
• 通过数值例子验证理论框架，展示在小扰动下解的收敛性与稳定性。

提出的方法

• 应用矩阵束理论分析正则矩阵束 $ sF - G $，利用非奇异矩阵 $ P $ 和 $ Q $ 将其分解为Weierstrass标准型。
• 将解空间分解为有限与无限初等因子，通过 $ Q_p $、$ J_p $ 以及 $ P_1 $、$ P_2 $ 分离有限部分。
• 将通解表述为 $ Y_k = Q_p J_p^k C + Q D_k $，其中 $ D_k $ 表示输入 $ V_k $，而 $ C $ 为自由参数（当初始条件不一致时）。
• 对于不一致的初始条件，通过将 $ Y_0 $ 投影到 $ Q_p $ 的列空间，最小化 $ \|Y_0 - \hat{Y}_0\|_2 $，得到 $ \hat{C} = (Q_p^* Q_p)^{-1} Q_p^* Y_0 $。
• 推导出最优解为 $ \hat{Y}_k = Q_p J_p^k (Q_p^* Q_p)^{-1} Q_p^* Y_0 $，该解在最小二乘意义下最小化初始条件误差。
• 通过数值例子验证方法，表明当初始条件发生微小扰动时，最优解能紧密逼近真实解。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为具有奇异主系数矩阵且初始条件不一致的广义线性离散时间系统定义最优解？
• RQ2 当系统因奇异矩阵束而导致无穷多解时，解空间的数学结构是什么？
• RQ3 如何利用矩阵束分解与正交投影，高效计算最小二乘最优解？
• RQ4 当初始条件被扰动为一致时，最优解与唯一解之间有何关系？
• RQ5 在非一致初始条件发生微小扰动时，所提方法的数值表现如何？

主要发现

• 对于不一致初始条件的最优解为 $ \hat{Y}_k = Q_p J_p^k (Q_p^* Q_p)^{-1} Q_p^* Y_0 $，该解最小化了给定初始状态与投影后初始状态之间的2-范数误差。
• 当初始条件不一致时，系统有无穷多解，但最优解唯一，且通过投影到 $ Q_p $ 的列空间获得。
• 在例3.1中，最优解为 $ \hat{Y}_k = \frac{1}{3 \cdot 5^k} \begin{bmatrix} 0 \\ 3 \\ 0 \\ 4 \\ 4 \\ \end{bmatrix} $，由 $ Y_0 = [1,1,1,1,1]^T $ 的投影导出。
• 在例3.2中，一致初始条件产生唯一解 $ Y_k = -\frac{4^k}{5^k} \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} $，验证了理论框架的正确性。
• 在例3.3中，微小扰动 $ \|Y_0 - \hat{Y}_0\|_2 = 0.00018 $ 导致最优解 $ \hat{Y}_k = -\frac{12.9999 \cdot 4^k}{13 \cdot 5^k} \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} $，几乎与一致情况下的解相同。
• 该方法确保了稳定性与连续性：初始条件的微小变化仅引起最优解的微小变化，证实了其鲁棒性。