[论文解读] The Chern classes of the Verlinde bundles

Alina Marian, Dragos Oprea+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 20, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 22被引用 4

一句话总结

本文推导出在亏格 $g \geq 2$ 的稳定曲线模空间上，Verlinde丛的第一陈类的闭式公式，证明了 $\mu(\mathbb{V}_{r,k}) = \frac{r(k^2 - 1)}{2(k + r)}\lambda$，其中 $\lambda$ 为霍奇类。该结果通过秩 2 情形下的有限维几何方法，利用如水平-秩对偶性、射影平坦性等对称性加以证明，并通过共形块理论与融合规则的边界延拓推广至更高秩。

ABSTRACT

A formula for the first Chern class of the Verlinde bundle over the moduli space of smooth genus g curves is given. A finite-dimensional argument is presented in rank 2 using geometric symmetries obtained from strange duality, relative Serre duality, and Wirtinger duality together with the projective flatness of the Hitchin connection. A derivation using conformal-block methods is presented in higher rank. An expression for the first Chern class over the compact moduli space of curves is obtained.

研究动机与目标

• 确定光滑亏格 $g$ 曲线模空间 $\mathcal{M}_g$ 上 Verlinde 丛 $\mathbb{V}_{r,k}$ 的第一陈类。
• 通过水平-秩对偶性、相对 Serre 对偶性及 Wirtinger 对偶性等对称性，建立秩 2 情形下 Verlinde 斜率公式的有限维几何证明。
• 利用共形块理论将公式推广至更高秩，并通过边界限制验证其在紧化模空间 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 上的一致性。
• 利用融合规则确认斜率表达式在 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 的所有边界除子上成立，并验证边界限制映射的单射性。

提出的方法

• 利用相对水平-秩对偶性，导出关联 $s_{r,k}$ 与 $s_{k,r}$ 的函数方程，得到 $s_{r,k} + s_{k,r} = \frac{kr - 1}{2}$。
• 在 $\mathcal{SU}_g(r, \mathcal{O}) \to \mathcal{M}_g$ 的纤维上应用相对 Serre 对偶性，得到恒等式 $s_{r,k} + s_{r,-k-2r} = -2r^2$。
• 利用初始条件 $\mu(\mathbb{V}_{1,k}) = \frac{k-1}{2}\lambda$ 与 $\mu(\mathbb{V}_{r,0}) = -\frac{1}{2}\lambda$ 确定归一化。
• 利用 Verlinde 丛的射影平坦性，将秩 2 情形的问题约化为求解一组函数方程。
• 利用共形块理论及 Atiyah代数在真空丛上的作用，推导更高秩情形下的斜率公式。
• 应用 [TUY] 中的融合规则，计算 Verlinde 丛在边界除子上的拉回，匹配 $\Psi_i$ 与 $\delta_{\text{irr}}$ 的系数。

实验结果

研究问题

• RQ1 Verlinde 丛 $\mathbb{V}_{r,k}$ 在 $\mathcal{M}_g$ 上的第一陈类的精确表达式是什么？
• RQ2 如水平-秩对偶性与相对 Serre 对偶性等几何对称性如何约束秩 2 情形下的 Verlinde 斜率？
• RQ3 Verlinde 斜率公式能否从开模空间推广至紧化模空间 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$？
• RQ4 Verlinde 丛在限制到边界除子时的行为如何？融合规则如何决定边界校正项？
• RQ5 共形块方法是否与有限维几何方法得到相同的斜率公式？积分性条件如何用于确定归一化？

主要发现

• Verlinde 丛 $\mathbb{V}_{r,k}$ 的第一陈类为 $\mu(\mathbb{V}_{r,k}) = \frac{r(k^2 - 1)}{2(k + r)}\lambda$，其中 $\lambda$ 为霍奇丛的第一陈类。
• 在秩 2 情形下，斜率公式 $\mu(\mathbb{V}_{2,k}) = \frac{k^2 - 1}{k + 2}\lambda$ 完全由四种对称性确定：水平-秩对偶性、相对 Serre 对偶性、初始条件与射影平坦性。
• 该公式可延拓至紧化模空间 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$，边界校正项与共形块的融合规则一致。
• 在 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 上，真空丛 $\mathcal{B}_{g,\underline{\mu}}$ 的斜率为 $\frac{k(r^2 - 1)}{2(r + k)}\lambda + \sum_{i=1}^n \mathsf{w}_{\mu_i}\Psi_i - c_{\text{irr}}\delta_{\text{irr}} - \cdots$，其中系数由融合规则确定。
• 当 $g \geq 3$ 时，边界限制映射 $H^2(\overline{\mathcal{M}}_{g,n}) \to H^2(\overline{\mathcal{M}}_{g-1,n+2})$ 是单射，支持公式的归纳验证。
• 通过已知结果与融合规则相容性，直接验证了低亏格情形 $(g,n) = (0,4), (0,5), (1,1), (1,2)$ 下的公式。