[论文解读] The coarse Baum-Connes conjecture for certain extensions and relative expanders

Jintao Deng, Qin Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2021

Advanced Operator Algebra Research参考文献 40被引用 4

一句话总结

本文通過利用正規子群的性質A以及商群的粗Hilbert空間嵌入性，證明了某些群擴張與相對展開圖的粗Baum-Connes猜想。該研究證明，即使整個群不粗嵌入Hilbert空間，猜想依然成立，從而解決了關於相對展開圖與自由群特殊方箱空間的一個開放問題。

ABSTRACT

Let $\left( 1 o N_n o G_n o Q_n o 1 ight)_{n\in \mathbb{N}}$ be a sequence of extensions of finitely generated groups with uniformly finite generating subsets. We show that if the sequence $\left( N_n ight)_{n\in \mathbb{N}} $ with the induced metric from the word metrics of $\left( G_n ight)_{n\in \mathbb{N}} $ has property A, and the sequence $\left( Q_n ight)_{n\in \mathbb{N}} $ with the quotient metrics coarsely embeds into Hilbert space, then the coarse Baum-Connes conjecture holds for the sequence $\left( G_n ight)_{n\in \mathbb{N}}$, which may not admit a coarse embedding into Hilbert space. It follows that the coarse Baum-Connes conjecture holds for the relative expanders and group extensions exhibited by G. Arzhantseva and R. Tessera, and special box spaces of free groups discovered by T. Delabie and A. Khukhro, which do not coarsely embed into Hilbert space, yet do not contain a weakly embedded expander. This in particular solves an open problem raised by G. Arzhantseva and R. Tessera \cite{Arzhantseva-Tessera 2015}.

研究动机与目标

• 建立在正規子群具有性質A且商群粗嵌入Hilbert空間的群擴張序列上，粗Baum-Connes猜想的成立。
• 解決Arzhantseva與Tessera（2015）提出的關於相對展開圖與不粗嵌入Hilbert空間的方箱空間的開放問題。
• 將粗Baum-Connes猜想的適用範圍擴展至不具備粗Hilbert空間嵌入性的群。
• 提供一個框架，用於在傳統嵌入條件失效的情況下驗證猜想。

提出的方法

• 使用正規子群序列 (N_n) 上的誘導字度量來分析其幾何性質。
• 假設 (N_n) 具有性質A，以確保K-理論計算中具有有利的幾何行為。
• 假設 (Q_n) 搭配商度量粗嵌入Hilbert空間，從而可應用Hilbert空間技術。
• 應用群的正合序列，將 (G_n) 的幾何性質與 (N_n) 及 (Q_n) 的幾何性質聯繫起來。
• 運用粗幾何工具分析 (G_n) 的大尺度結構，即使其可能不具備Hilbert空間嵌入性。
• 利用已知的性質A與粗嵌入性結果，推導出 (G_n) 上粗Baum-Connes猜想的成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 當整個群不粗嵌入Hilbert空間時，能否驗證群擴張上的粗Baum-Connes猜想？
• RQ2 在正規子群與商群滿足何種條件時，粗Baum-Connes猜想對擴張成立？
• RQ3 相對展開圖與自由群的某些方箱空間是否即使缺乏Hilbert空間嵌入性，仍滿足粗Baum-Connes猜想？
• RQ4 正規子群上的性質A是否足夠確保在商群粗嵌入Hilbert空間的條件下，猜想成立？
• RQ5 能否在群不包含弱嵌入展開圖的情況下建立該猜想？

主要发现

• 在 (N_n) 具有性質A且 (Q_n) 粗嵌入Hilbert空間的假設下，粗Baum-Connes猜想對序列 (G_n) 成立。
• 該結果適用於Arzhantseva與Tessera所構造的相對展開圖，這些圖不粗嵌入Hilbert空間但滿足猜想。
• 該方法解決了Arzhantseva與Tessera（2015）提出的關於相對展開圖粗Baum-Connes猜想的開放問題。
• 該框架可延伸至Delabie與Khukhro引入的自由群特殊方箱空間，這些空間亦不粗嵌入Hilbert空間但滿足猜想。
• 本文表明，只要正規子群與商群滿足適當的幾何條件，即使缺乏Hilbert空間嵌入性，也不會阻礙粗Baum-Connes猜想的成立。