[论文解读] The Complexity of Multiwinner Voting Rules with Variable Number of Winners

Piotr Faliszewski, Arkadii Slinko+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2017

Game Theory and Voting Systems参考文献 18被引用 11

一句话总结

本文研究了基于批准的多赢家投票规则，这些规则从选民偏好中同时确定胜出委员会的规模和成员，引入并分析了 NAV、MRC 及基于阈值的方法等规则的计算复杂性。研究识别出可在多项式时间内求解的规则与 NP-难规则，并通过实验表明，委员会规模因规则和批准阈值的不同而有显著差异。

ABSTRACT

We consider the approval-based model of elections, and undertake a computational study of voting rules which select committees whose size is not predetermined. While voting rules that output committees with a predetermined number of winning candidates are quite well studied, the study of elections with variable number of winners has only recently been initiated by Kilgour. This paper aims at achieving a better understanding of these rules, their computational complexity, and on scenarios for which they might be applicable.

研究动机与目标

• 研究基于选民批准的、不固定规模的多赢家投票规则的计算复杂性。
• 识别哪些规则在计算上是可 tractable（属于 P）的，哪些是 NP-难的，尤其关注可变委员会规模的情形。
• 评估此类规则在现实场景（如初步筛选、资格选拔和代表委员会组建）中的实际适用性。
• 通过实验分析不同规则在不同批准概率下所产生的委员会平均规模与范围。
• 探索公理化与算法扩展，包括将社会对委员会规模的偏好整合进可变规模多赢家投票规则中。

提出的方法

• 形式化了一套基于整数线性规划（ILP）的可变规模多赢家投票框架，建模每类候选人的特征及选民的批准模式。
• 引入约束条件，将选民满意度（通过二值变量 $v_j$ 表示）与所选委员会中被批准的候选人数量关联，确保至少 $N$ 名选民获得满足。
• 使用 FPT 时间算法（Lenstra 算法）求解 ILP，以在满足约束条件下最大化委员会规模。
• 提出广义规则，如 $t$-阈值规则、$t$-多数阈值，以及 NAV 和 MRC 的变体，支持可变阈值。
• 采用基于仿真的实验设置，包含 20 或 100 名选民与 20 名候选人，批准概率从 0 到 1 不等。
• 使用统计指标（包括多次随机选举中委员会规模的均值与标准差）分析实验结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些基于批准的、可变规模的多赢家投票规则可在多项式时间内计算？哪些是 NP-难的？
• RQ2 在不同批准概率与选民数量下，不同规则在平均委员会规模上的表现如何？
• RQ3 像 $t_{\mathrm{maj}}$-Threshold 这类规则所产生的委员会规模范围是多少？其随选民数量变化的趋势如何？
• RQ4 NAV、MRC 及其阈值变体在计算复杂性与输出规模方面有何比较？
• RQ5 能否有意义地将社会对委员会规模的偏好整合进可变规模多赢家投票规则中？

主要发现

• $\nicefrac{2}{3}$-NAV 规则在 20 名选民下产生最小的平均委员会规模（1.02 ± 1.01），表明其在选择最小获胜集合方面具有高效率。
• $0.9$-CSA 规则在 100 名选民下产生最大的平均委员会规模（14.67 ± 2.75），接近 20 名候选人的最大可能规模。
• MRC 规则具有 NP-难复杂度，且产生较大的委员会（100 名选民下为 4.08 ± 0.26），表明在大规模选民群体中计算成本极高。
• $t_{\mathrm{maj}}$-Threshold 规则产生的委员会规模高度可变，20 名选民下平均最大委员会规模达 7.52 人，但在 100 名选民下仅 2.20 人。
• FirstMajority 规则始终产生较大的委员会（20 名选民下为 9.51 ± 0.43），表明其在最小化规模方面效率较低。
• 像 $0.5$-CSA 和 $0.5$-NCSA 这类规则产生非常大的委员会（平均分别为 5.57 ± 2.14 和 5.57 ± 2.18），表明其对阈值选择极为敏感。