[论文解读] The Computational Complexity of Ball Permutations

Scott Aaronson, Adam Bouland+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 21, 2016

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 18被引用 4

一句话总结

本文研究了基于可区分粒子（小球）置换的量子与经典模型的计算复杂性，表明在标准基输入下，量子小球置换模型属于DQC1类——表明其计算能力弱于通用量子计算；而特定输入态可通过编码计算实现BQP通用性。受限的可积版本则成为后选择通用，若能高效经典模拟，则意味着多项式层级坍缩。

ABSTRACT

Inspired by connections to two dimensional quantum theory, we define several models of computation based on permuting distinguishable particles (which we call balls), and characterize their computational complexity. In the quantum setting, we find that the computational power of this model depends on the initial input states. More precisely, with a standard basis input state, we show how to approximate the amplitudes of this model within additive error using the model DQC1 (the class of problems solvable with one clean qubit), providing evidence that the model in this case is weaker than universal quantum computing. However, for specific choices of input states, the model is shown to be universal for BQP in an encoded sense. We use representation theory of the symmetric group to partially classify the computational complexity of this model for arbitrary input states. Interestingly, we find some input states which yield a model intermediate between DQC1 and BQP. Furthermore, we consider a restricted version of this model based on an integrable scattering problem in 1+1 dimensions. We show it is universal under postselection, if we allow intermediate destructive measurements and specific input states. Therefore, the existence of any classical procedure to sample from the output distribution of this model within multiplicative error implies collapse of polynomial hierarchy to its third level. Finally, we define a classical version of this model in which one can probabilistically permute balls. We find this yields a complexity class which is intermediate between L and BPP. Moreover, we find a nondeterministic version of this model is NP-complete.

研究动机与目标

• 表征基于一维系统中可区分粒子（小球）置换的量子与经典模型的计算复杂性。
• 研究初始量子态的选择如何影响小球置换模型的计算能力。
• 确定受限版本的模型——尤其是基于1+1维可积散射的模型——在后选择下是否实现通用量子计算。
• 定义并分析小球置换模型的经典概率与非确定性变体，识别其复杂性类。

提出的方法

• 形式化一个量子模型，其中两粒子部分交换门作用于n个可区分小球的置换，映射 |x,y⟩ → c|x,y⟩ + is|y,x⟩，满足 c² + s² = 1。
• 利用对称群 Sₙ 的表示理论，将希尔伯特空间 ℂSₙ 分解为不可约表示（irreps），分析小球置换门在这些子空间上的作用。
• 应用桥引理与分支规则，研究门生成的酉群，尤其关注对应于两行或两列杨图的不可约表示。
• 引入一个基于可积1+1维散射的受限模型，表明在特定输入态下，其通过后选择可实现通用性。
• 定义经典类比：随机模型（RBall）与非确定性模型（NBall），分析其相对于L、BPP与NP的复杂性。
• 使用迹估计与平均迹计算，将量子模型中的振幅与已知复杂性类（如DQC1与BQP）关联。

实验结果

研究问题

• RQ1 当初始化为标准基态 |12…n⟩ 时，小球置换量子模型的计算能力为何？
• RQ2 小球置换模型是否能在特定初始态下实现BQP通用性？若能，其条件为何？
• RQ3 随机小球置换模型（RBall）的复杂性为何？其与L、BPP及Almost-L的关系如何？
• RQ4 可积小球置换模型在后选择下是否成为通用？其对经典模拟的后果为何？
• RQ5 小球置换模型的计数版本的复杂性为何？其是否对应于#P？

主要发现

• 初始态为 |12…n⟩ 的小球置换模型属于DQC1类，表明其不太可能是BQP通用的，因此远弱于完整量子计算。
• 对于某些不可约表示（如两行或两列杨图），该模型生成的酉群尽可能大，暗示可能实现BQP通用性。
• 在特定输入态下，该模型以编码方式实现BQP通用性，因振幅估计问题变为BQP完全。
• 受限的可积小球置换模型在后选择下成为通用；因此，若能高效经典采样，则多项式层级将坍缩至其第三层。
• 随机小球置换模型（RBall）满足 BPL ⊆ RBall ⊆ Almost-L，且两次自适应查询可模拟Almost-L，但单次查询模拟仍为开放问题。
• 非确定性小球置换模型（NBall）为NP完全，且计数版本 #Ball 在除非P = NP，否则无法在乘法误差内近似。