[论文解读] On estimating the entropy of shallow circuit outputs

Alexandru Gheorghiu, Matty J. Hoban|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 2020

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 74被引用 5

一句话总结

本文研究了在浅层经典与量子电路中估计熵的计算难度，表明即使在对数或常数深度下，熵估计在标准复杂性假设下依然难以计算。本文建立了从学习误差（LWE）问题到常数深度经典熵差（ED$_{O(1)}$）的约化，表明若能在浅层电路中高效估计熵，将破坏LWE的假设困难性；并探讨了通过AdS/CFT对偶性在量子引力中的影响。

ABSTRACT

Estimating the entropy of probability distributions and quantum states is a fundamental task in information processing. Here, we examine the hardness of this task for the case of probability distributions or quantum states produced by shallow circuits. Specifically, we show that entropy estimation for distributions or states produced by either log-depth circuits or constant-depth circuits with gates of bounded fan-in and unbounded fan-out is at least as hard as the Learning with Errors (LWE) problem, and thus believed to be intractable even for efficient quantum computation. This illustrates that quantum circuits do not need to be complex to render the computation of entropy a difficult task. We also give complexity-theoretic evidence that this problem for log-depth circuits is not as hard as its counterpart with general polynomial-size circuits, seemingly occupying an intermediate hardness regime. Finally, we discuss potential future applications of our work for quantum gravity research by relating our results to the complexity of the bulk-to-boundary dictionary of AdS/CFT.

研究动机与目标

• 分析浅层经典与量子电路（特别是对数或常数深度）中熵估计的计算复杂性。
• 确定在标准复杂性理论假设下，浅层电路是否使熵估计变得更容易，或依然难以计算。
• 探讨熵估计、学习误差（LWE）问题与通过AdS/CFT对偶性关联的量子引力之间的联系。
• 评估利用全息对偶性通过量子模拟解决经典困难问题（如LWE）的可行性。

提出的方法

• 从学习误差（LWE）问题约化到常数深度经典熵差问题（ED$_{O(1)}$），表明若能高效求解ED$_{O(1)}$，将破坏LWE的困难性假设。
• 构建基于量子线路的熵差问题（QED）及其浅层变体（QED$_{\textrm{log}}$，QED$_{O(1)}$），分析其相对于全多项式规模线路的复杂性。
• 引入QED的哈密顿量版本（HQED），其中问题为估计局域哈密顿量基态中的纠缠熵差，并提供从QED到HQED的约化。
• 利用AdS/CFT对偶性提出一个思想实验：体空间观察者通过测量视界面积来区分两个CFT态，通过在量子计算机上时间演化双份CFT哈密顿量来模拟该过程。
• 使用SWAP测试比较最终态与初始态，根据结果判断该函数是1对1还是2对1。
• 推测，若此类量子实验能高效求解LWE，则AdS/CFT的体到边界映射必须是指数复杂度的，否则将违反LWE的假设困难性。

实验结果

研究问题

• RQ1 估计浅层经典电路（对数或常数深度）输出熵的计算复杂性是否低于一般多项式规模电路？
• RQ2 能否将学习误差（LWE）问题的困难性约化到常数深度经典熵差问题（ED$_{O(1)}$）？
• RQ3 在计算复杂性方面，量子熵差问题（QED）与其浅层变体（QED$_{\textrm{log}}$，QED$_{O(1)}$）之间存在何种关系？
• RQ4 AdS/CFT对偶性能否用于构建一个量子实验，通过利用体几何与边界量子模拟高效求解LWE问题？
• RQ5 若此类量子实验能成功求解LWE，则全息体到边界映射是否必须为指数复杂度？

主要发现

• 本文证明了从学习误差（LWE）问题到常数深度经典熵差问题（ED$_{O(1)}$）的约化，表明若能在浅层电路中高效估计熵，将破坏LWE的困难性假设。
• 研究表明，若存在某种类型的从QED到QED$_{\textrm{log}}$的约化，则任何多项式时间的量子计算都可被实现于对数深度，暗示浅层电路并未使熵估计变得平凡。
• 提出了QED的哈密顿量版本（HQED），并提供了从QED到HQED的约化，表明HQED至少与基于线路的QED问题一样困难。
• 本文构建了一个利用AdS/CFT对偶性的思想实验：体空间观察者通过测量视界面积来区分两个量子态，并提出在量子计算机上模拟此过程可实现LWE的高效求解。
• 作者推测，除非AdS/CFT的体到边界映射是指数复杂度的，否则该实验将违反LWE的假设困难性，意味着此类映射无法被高效计算。
• 结果表明，在标准复杂性假设下，即使在常数或对数深度下，估计量子系统中的熵比依然困难，特别是当其与LWE相关联时。