[论文解读] The explicit Zelevinsky-Aubert duality

Hiraku Atobe, Alberto Mínguez|arXiv (Cornell University)|Aug 13, 2020

Advanced Algebra and Geometry参考文献 29被引用 6

一句话总结

本文为 $p$-进辛群与奇数维特殊正交群的不可约光滑表示的 Zelevinsky–Aubert 对偶提供了一种显式且可计算的算法。通过建立导子与底层的显式公式，并结合内播分类与 Langlands 数据，该方法实现了从原始表示的 Langlands 参数出发，对对偶表示进行算法计算，解决了局部非阿基米德域上经典群表示理论中的一个关键问题。

ABSTRACT

In this paper, we give an explicit computable algorithm for the Zelevinsky-Aubert dual of irreducible representations of $p$-adic symplectic and odd special orthogonal groups. To do this, we establish explicit formulas for certain derivatives and socles. We also give a combinatorial criterion for the irreducibility of certain parabolically induced representations.

研究动机与目标

• 将 Mœglin–Waldspurger 算法从 $\mathrm{GL}_n(F)$ 扩展至经典群，特别是辛群与奇数维特殊正交群。
• 为确定任意不可约光滑表示的 Zelevinsky–Aubert 对偶的 Langlands 数据，提供一种完全显式且可计算的算法。
• 在正性与非极大紧情形下，建立 $\rho$-导子与底层的显式公式，以支持算法计算。
• 在经典群背景下，给出抛物诱导表示不可约性的组合准则。
• 验证对偶性保持酉性，并识别对偶下的不动点，如某些 Langlands 商。

提出的方法

• 作者定义并计算了 $G_n = \mathrm{Sp}_{2n}(F)$ 或 $\mathrm{SO}_{2n+1}(F)$ 的不可约表示的 $\rho$-导子，利用最大 $\rho$-导子 $D_\rho^{\max}(\pi)$ 将 $\pi$ 分解为极大紧数据的形式。
• 通过 $S_Z^{(k)}$-函子，推导出抛物诱导表示底层的显式公式，尤其在正性与非极大紧情形下。
• 该算法利用对偶性与 Jacquet 函子的交换性，确保 $D_\rho^{\max}(\hat{\pi}) = D_{\rho^\vee}^{\max}(\hat{\pi})$，从而将对偶与反演对偶联系起来。
• 该方法依赖于 Arthur 的内播分类与 Mœglin 构造局部 $L$-包的理论，以 Langlands 数据参数化表示。
• 算法通过递归计算导子与底层，结合不可约性与诱导表示结构的已知结果实现。
• 关键技术工具为 $D_G(\Pi)$-构造（Aubert 的对合）以及在 Langlands 商上对 $S_Z^{(k)}$-函子的显式计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何显式计算 $p$-进辛群与奇数维特殊正交群的不可约表示的 Zelevinsky–Aubert 对偶？
• RQ2 在正性与非极大紧情形下，抛物诱导表示的 $\rho$-导子与底层的显式公式是什么？
• RQ3 能否为经典群中抛物诱导表示的不可约性给出组合准则？
• RQ4 哪些表示在 Zelevinsky–Aubert 对偶下保持不变？此类不动点如何表征？
• RQ5 对偶性在经典群设定下如何与内播分类及 Langlands 参数相互作用？

主要发现

• 本文提供了一种显式算法，可从 $\pi$ 的 Langlands 数据计算出 Zelevinsky–Aubert 对偶 $\hat{\pi}$ 的 Langlands 数据，适用于 $\mathrm{Sp}_{2n}(F)$ 与 $\mathrm{SO}_{2n+1}(F)$ 的不可约表示。
• 对于 $\pi = L(\Delta[0,-2], \Delta[0,-1]; \pi(3^+))$，对偶满足 $\hat{\pi} = \pi$，表明该表示在对偶下不变。
• 计算得 $\pi(1^+,1^+,3^+,5^-,5^-)$ 的对偶为 $L(\Delta[-1,-2], |\cdot|^{-2}, |\cdot|^{-1}; \pi(1^-,1^-,1^-,1^-,3^+))$，展示了算法的有效性。
• $\pi(1^-,1^-,3^+,5^-,5^-)$ 的对偶为 $L(\Delta[0,-2], |\cdot|^{-2}, |\cdot|^{-1}; \pi(1^-,1^-,3^+))$，且这两者的和同构于 $\mathbf{1}_{\mathrm{GL}_1(F)} \rtimes L(\Delta[-1,-2], |\cdot|^{-2}, |\cdot|^{-1}; \pi(1^-,1^-,3^+))$。
• 本文证明了 $L(\Delta[0,-2]; \pi(1^-,1^-,3^+))$ 在对偶下不变，此结果无法由先前工作推出。
• 该算法完全可计算，依赖于 $S_Z^{(k)}$-底层与 $\rho$-导子的显式公式，使得在经典群设定下系统计算对偶成为可能。