[论文解读] The genus zero Gromov-Witten invariants of [Sym^2 P^2]

Jonathan Wise|ArXiv.org|Feb 8, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 16被引用 5

一句话总结

本文建立了 orbifold $[\operatorname{Sym}^2 \mathbb{P}^2]$ 的亏格零 Gromov-Witten 不变量与 $\mathbb{P}^2$ 中双椭圆曲线计数的枚举几何之间的对应关系。通过分析模空间中 orbifold 稳定映射的 comb 曲线，作者推导出一个公式，将 Gromov-Witten 不变量表示为双椭圆曲线计数的分拆和，并通过比较 $q = -1$ 处的不变量，验证了小 crepant resolution 一致性猜想的一个例子。

ABSTRACT

We study the Abramovich--Vistoli moduli space of genus zero orbifold stable maps to [Sym^2 P^2], the stack symmetric square of P^2. This compactifies the moduli space of stable maps from hyperelliptic curves to P^2, and we show that all genus zero Gromov--Witten invariants are determined from trivial enumerative geometry of hyperelliptic curves. We also show how the genus zero Gromov--Witten invariants can be used to determine the number of hyperelliptic curves of degree d and genus g interpolating 3d + 1 generic points in P^2. Comparing our method to that of Graber for calculating the same numbers, we verify an example of the crepant resolution conjecture.

研究动机与目标

• 将 orbifold $[\operatorname{Sym}^2 \mathbb{P}^2]$ 的亏格零 Gromov-Witten 不变量与 $\mathbb{P}^2$ 中双椭圆曲线的枚举几何联系起来。
• 证明 $[\operatorname{Sym}^2 \mathbb{P}^2]$ 上的 orbifold 稳定映射模空间紧化了从双椭圆曲线到 $\mathbb{P}^2$ 的稳定映射空间。
• 通过 comb 曲线计算 Gromov-Witten 不变量，并通过比较 $q = -1$ 处的不变量来验证 crepant resolution 一致性猜想。

提出的方法

• 利用 Abramovich–Vistoli 的亏格零 orbifold 稳定映射模空间，该模空间紧化了从双椭圆曲线到 $\mathbb{P}^2$ 的稳定映射模空间。
• 识别 comb 曲线为模空间中的关键组成部分，其贡献于与通过点计数双椭圆曲线相关的不变量。
• 应用虚拟基本类技术与 orbifold Chow 环计算，以评估障碍丛与评估映射。
• 通过 orbifold Chow 环中的代数关系，将一般 Gromov-Witten 不变量约化为 2-点不变量与特定高阶点不变量的组合。
• 使用等变积分与多重 zeta 函数和 polylogarithm 的特殊值，计算不变量的生成函数。
• 通过证明 $[\operatorname{Sym}^2 \mathbb{P}^2]$ 与其中 Hilbert 模间解消的不变量在 $q = -1$ 处的解析延拓后一致，验证了 crepant resolution 一致性猜想。

实验结果

研究问题

• RQ1 亏格零 Gromov-Witten 不变量 $J(d,g)$ 的 $[\operatorname{Sym}^2 \mathbb{P}^2]$ 如何编码通过 $\mathbb{P}^2$ 中 $3d+1$ 个一般点的度数为 $d$、亏格为 $g$ 的双椭圆曲线的数量？
• RQ2 comb 曲线在 $[\operatorname{Sym}^2 \mathbb{P}^2]$ 上的 orbifold 稳定映射模空间中，对计算这些不变量起到何种作用？
• RQ3 能否通过比较 orbifold 与 Hilbert 模间解消的 Gromov-Witten 不变量，验证 $[\operatorname{Sym}^2 \mathbb{P}^2]$ 的 crepant resolution 一致性猜想？
• RQ4 orbifold Chow 环与障碍丛结构如何约束此设定下 Gromov-Witten 不变量的计算？
• RQ5 Gromov-Witten 生成函数在 $q = -1$ 处的解析行为是什么？它与解消猜想有何关联？

主要发现

• 亏格零 Gromov-Witten 不变量 $J(d,g)$ 的 $[\operatorname{Sym}^2 \mathbb{P}^2]$ 由 $J(d,g) = \sum_{\mathbf{h}} \left(-\frac{1}{4}\right)^{g-g(\mathbf{h})} (2g(\mathbf{h})+2)! \cdot E(d,g(\mathbf{h}))$ 给出，其中 $E(d,g(\mathbf{h}))$ 计数通过 $3d+1$ 个点的亏格 $g(\mathbf{h})$ 的双椭圆曲线。
• 每个 comb 曲线分量对不变量的贡献由一个双椭圆 Hodge 积分决定，因子 $\left(-\frac{1}{4}\right)^{g-g(\mathbf{h})}$ 来自 Hodge 积分的计算。
• 所有 $[\operatorname{Sym}^2 \mathbb{P}^2]$ 的亏格零 Gromov-Witten 不变量均可表示为 2-点不变量与两个特定高阶点不变量的多项式组合。
• 零度不变量 $\langle \alpha\gamma, \gamma^{\otimes(2g+1)} \rangle^*_{0}(-1)$ 与 $\langle \gamma^2, \gamma^{\otimes(2g+2)} \rangle^*_{0}(-1)$ 分别计算为 $\frac{(-1)^g 6(2^{2g}-1)B_{2g}}{2g}$ 与 $0$，使用 polylogarithm 函数与 zeta 值。
• $2$-点不变量在 $q = -1$ 处具有解析延拓，且其在 $q = -1$ 处的值与 Hilbert 模间解消的对应不变量一致，从而在此情况下验证了 crepant resolution 一致性猜想。
• 不变量 $\langle \alpha\gamma, \gamma^{\otimes(2g+1)} \rangle^*_{0}(q)$ 与 $\langle \gamma^2, \gamma^{\otimes(2g+2)} \rangle^*_{0}(q)$ 的生成函数分别为 $(-1)^{g+1}6\operatorname{Li}_{-(2g-1)}(q)$ 与 $(-1)^{g+1}9\operatorname{Li}_{-2g}(q)$，且在 $q = -1$ 处具有解析延拓。