[论文解读] The Gromov--Hausdorff Distance between Simplexes and Two-Distance Spaces

Alexander Ivanov, Alexey Avgustinovich Tuzhilin|arXiv (Cornell University)|Jul 22, 2019

Geometric and Algebraic Topology参考文献 8被引用 4

一句话总结

本文计算了单纯形（所有非零距离相等）与有限2距离空间（距离取两个值 a < b）之间的Gromov–Hausdorff距离，推导出精确公式，解决了此类空间的广义Borsuk问题。关键结果将图的团覆盖数与染色数与由图构造的度量空间和单纯形之间的Gromov–Hausdorff距离联系起来，为这些图不变量提供了几何表征。

ABSTRACT

In the present paper we calculate the Gromov-Hausdorff distance between an arbitrary simplex (a metric space all whose non-zero distances are the same) and a finite metric space whose non-zero distances take two distinct values (so-called $2$-distance spaces). As a corollary, a complete solution to generalized Borsuk problem for the $2$-distance spaces is obtained. In addition, we derive formulas for the clique covering number and for the chromatic number of an arbitrary graph $G$ in terms of the Gromov-Hausdorff distance between a simplex and an appropriate $2$-distance space constructed by the graph $G$.

研究动机与目标

• 计算任意单纯形与具有距离 a 和 b（a < b）的有限2距离空间之间的Gromov–Hausdorff距离。
• 将此计算应用于解决2距离空间的广义Borsuk问题，确定此类空间何时可被划分为 m 个直径严格更小的子集。
• 用单纯形与从图导出的2距离空间之间的Gromov–Hausdorff距离来表达有限图的团覆盖数与染色数。

提出的方法

• 在图 G 的顶点集上定义一个2距离空间，为相邻顶点分配距离 a，为非相邻顶点分配距离 b，其中 a < b ≤ 2a。
• 通过为相邻顶点分配距离 a、非相邻顶点分配距离 b，从 G 构造一个度量空间，形成一个2距离空间。
• 利用单纯形大小为 m 与该2距离空间之间的Gromov–Hausdorff距离来表征可划分性与不变量。
• 推导出依赖于 m、k（a-距离图的连通分量数）和 θ（团覆盖数）的 2dGH(λΔ, X) 的显式公式。
• 应用先前工作中定理 2.12，该定理将 2dGH(λΔ, X) < diam X 与划分为 m 个更小直径子集的可划分性联系起来。
• 利用所得公式，将团覆盖数 θ(G) 和染色数 γ(G) 表达为 m+1，其中 m 是满足 2dGH(aΔ, V) = b 的最大整数。

实验结果

研究问题

• RQ1 单纯形与具有距离 a 和 b（a < b）的有限2距离空间之间的Gromov–Hausdorff距离的确切值是什么？
• RQ2 在何种条件下，有限2距离空间可被划分为 m 个直径严格更小的子集？
• RQ3 如何通过Gromov–Hausdorff距离对图的团覆盖数进行几何表征？
• RQ4 图的染色数能否用图构造的单纯形之间的Gromov–Hausdorff距离来表达？
• RQ5 a-距离图（距离为 a 的边）的结构与到单纯形的Gromov–Hausdorff距离之间存在何种关系？

主要发现

• 大小为 m 的单纯形与具有距离 a < b 的2距离空间 X 之间的Gromov–Hausdorff距离由显式分段公式给出，其依赖于 m、k（a-距离图的连通分量数）和 θ（团覆盖数）。
• 当 m < θ 时，空间 X 无法被划分为 m 个直径严格更小的子集；当 m ≥ θ 时，此类划分存在，从而解决了2距离空间的广义Borsuk问题。
• 图 G 的团覆盖数 θ(G) 等于 m+1，其中 m 是满足 2dGH(aΔ, V) = b 的最大整数，且 aΔ 为大小为 m 的单纯形。
• 图 G 的染色数 γ(G) 等于 m+1，其中 m 是满足 2dGH(aΔ, V) = b 的最大整数，当距离分配为相邻顶点为 b、非相邻顶点为 a 时。
• 2dGH(λΔ, X) 的公式通过分析空间划分中的极值直径与距离得出，利用了 a-距离图及其分量的结构。
• 结果将先前工作推广，将度量几何（Gromov–Hausdorff距离）与离散不变量（团覆盖数与染色数）联系起来，为这些图参数提供了新的几何解释。