[论文解读] The Gromov-Witten potential associated to a TCFT

Kevin J. Costello|ArXiv.org|Sep 12, 2005

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 28被引用 22

一句话总结

该论文通过使用未紧化曲线模空间的Batalin-Vilkovisky代数，构建了Calabi-Yau $A_\infty$范畴的规范Gromov-Witten势，以量子主方程的解替代了Deligne-Mumford基本类，从而在不依赖Deligne-Mumford紧化的情况下，恢复了所有亏格下B模型的势函数。

ABSTRACT

This is the sequel to my preprint "TCFTs and Calabi-Yau categories", math.QA/0412149. Here we extend the results of that paper to construct, for certain Calabi-Yau A-infinity categories, something playing the role of the Gromov-Witten potential. This is a state in the Fock space associated to periodic cyclic homology, which is a symplectic vector space. Applying this to a suitable A-infinity version of the derived category of sheaves on a Calabi-Yau yields the B model potential, at all genera. The construction doesn't go via the Deligne-Mumford spaces, but instead uses the Batalin-Vilkovisky algebra constructed from the uncompactified moduli spaces of curves by Sen and Zwiebach. The fundamental class of Deligne-Mumford space is replaced here by a certain solution of the quantum master equation, essentially the "string vertices" of Zwiebach. On the field theory side, the BV operator has an interpretation as the quantised differential on the Fock space for periodic cyclic chains. Passing to homology, something satisfying the master equation yields an element of the Fock space.

研究动机与目标

• 为不依赖Deligne-Mumford紧化的Calabi-Yau $A_\infty$范畴定义一个规范Gromov-Witten势。
• 用量子主方程的解替代在Deligne-Mumford空间上使用基本类的做法，该解属于Batalin-Vilkovisky代数。
• 在与周期循环同调相关的Fock空间中建立一个规范态，用于建模Gromov-Witten势。
• 通过Fock空间上的平坦联络，为B模型中的全纯异常提供BV理论解释。
• 通过TCFT和周期循环同调，统一所有亏格下B模型势的构造。

提出的方法

• 通过将维数为 $d$ 的Hochschild链进行平移，为Calabi-Yau $A_\infty$范畴构造一个拓扑共形场论（TCFT）。
• 基于Sen和Zwiebach的方法，从未紧化曲线模空间构造一个Batalin-Vilkovisky代数。
• 在该BV代数中识别出量子主方程的解，该解被解释为Zwiebach的弦顶点。
• 将此解映射到周期循环同调上的Fock空间态，该Fock空间为一个辛向量空间。
• 将该构造应用于Calabi-Yau流形上凝聚层的导出范畴，以恢复B模型势。
• 利用Fock空间形式，定义Fock空间中的一条规范直线，该直线被解释为Gromov-Witten势。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不使用Deligne-Mumford紧化的情况下，为Calabi-Yau $A_\infty$范畴定义一个规范Gromov-Witten势？
• RQ2 如何在未紧化模空间的BV形式中，使BV代数替代Deligne-Mumford空间基本类的作用？
• RQ3 量子主方程的解在构造Fock空间中规范态的过程中起什么作用？
• RQ4 所得势与B模型中全纯异常的关系是什么？
• RQ5 该构造能否被推广，以在Fock空间上定义一个与周期循环同调上的Gauss-Manin联络相容的平坦联络？

主要发现

• 该构造在周期循环同调上的Fock空间中产生了一个规范态，该态充当Gromov-Witten势的角色。
• 通过该BV理论方法，成功在Calabi-Yau流形上B模型的所有亏格下恢复了势函数。
• Sen-Zwiebach BV代数中量子主方程的解对应于弦顶点，并替代了Deligne-Mumford基本类。
• Fock空间态在BV算子作用下保持不变，该算子在周期循环链上表现为量子化微分。
• 该构造不依赖于圆作用的平凡化，因此在以往方法需做选择的情况下，本方法具有规范性。
• 当全纯体积形式被重新标度时，势函数通过重新标度形式参数 $\lambda$ 而变换，与全息异常一致。