[论文解读] The inhomogeneous Allen--Cahn equation and the existence of prescribed-mean-curvature hypersurfaces

Costante Bellettini, Neshan Wickramasekera|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2020

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 29被引用 6

一句话总结

本文在维度 $n+1 \geq 3$ 的紧致黎曼流形中，建立了具有指定平均曲率 $g\nu$ 的拟嵌入、$C^{2,\beta}$ 超曲面的存在性，其中 $g$ 为非负的 Lipschitz 函数，$\nu$ 为连续单位法向量。证明基于基于 PDE 的极小极大构造，结合非齐次 Allen–Cahn 方程与变集正则性理论，表明奇点集的 Hausdorff 维数受控，且所得超曲面在逼近下保持稳定。

ABSTRACT

We prove that for any given compact Riemannian manifold $N$ of dimension $n+1 \geq 3$ and any non-negative Lipschitz function $g$ on $N$, there exists a quasi-embedded, boundaryless hypersurface $M \subset N,$ of class $C^{2, α}$ for any $α\in (0,1),$ such that $M$ is the image of a two-sided immersion whose mean curvature is given by $gν$ for an appropriate choice of continuous unit normal $ν$ to the immersion; and moreover, the singular set $Σ= \overline{M} \setminus M$ is empty if $2 \leq n \leq 6,$ finite if $n=7$ and satisfies ${\mathcal H}^{n-7 + γ}(Σ) = 0$ for every $γ>0$ if $n \geq 8$. Here quasi-embedded means that near every non-embedded point, $M$ is the union of two embedded $C^{2, α}$ disks intersecting tangentially with each disk lying on one side of the other. If $g >0$ then $\overline{M}$ is the boundary of a Caccioppoli set. Our proof of this theorem is PDE theoretic and relies, when $g>0$ and $g\in C^{1,1}(N)$, on (i) a mountain pass construction of solutions to the inhomogeneous Allen--Cahn equation and (ii) a regularity result for integral varifolds arising from a Morse-index bounded, energy bounded, sequence of solutions to the (inhomogeneous) Allen--Cahn equation. The case of non-negative Lipschitz $g$ follows by approximation, based on the estimates that we establish.

研究动机与目标

• 在紧致黎曼流形上建立具有指定平均曲率 $g\nu$ 的超曲面的存在性。
• 解决当 $g$ 为非负且 Lipschitz 但未必光滑时构造此类超曲面的挑战。
• 控制所得超曲面奇点集的结构与正则性，尤其在高维情形下。
• 将 Allen–Cahn 方程的极小极大方法扩展至非齐次情形，以处理非零平均曲率。
• 证明 Allen–Cahn 解的极限变集在无极小分量处为 $C^{2,\alpha}$ 正则，并在必要时切除极小部分。

提出的方法

• 利用山路引理的极小极大构造，生成小参数 $\varepsilon > 0$ 下非齐次 Allen–Cahn 方程 $-\varepsilon\Delta u + \varepsilon^{-1}W'(u) = \sigma g$ 的有界解 $u_\varepsilon$。
• 建立解 $u_\varepsilon$ 的统一能量与 Morse 指数界，与 $\varepsilon$ 无关，以确保在变集极限下的紧致性。
• 应用非变分的变集正则性理论，证明任意序列 $u_{\varepsilon_j}$ 的极限变集 $V$ 在可能存在的极小分量之外为 $C^{2,\alpha}$ 正则。
• 利用半线性梯度流（Allen–Cahn 流）并精心构造初值，将一个极小极限变集扰动为非极小形式，确保最终极限非完全极小。
• 从正则的极限变集中切除极小部分，以分离出具有平均曲率 $g\nu$ 的 $C^{2,\alpha}$ 超曲面。
• 通过局部爆破分析与截断函数方法，证明极限变集的 $C^{2,\alpha}$ 正则性，依赖于稳定性和密度估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否对任意非负 Lipschitz 函数 $g$，在紧致黎曼流形上构造出具有指定平均曲率 $g\nu$ 的 $C^{2,\alpha}$ 超曲面？
• RQ2 此类超曲面的奇点集结构及其 Hausdorff 维数为何，尤其在维度 $n \geq 7$ 时？
• RQ3 如何确保 Allen–Cahn 近似中极限变集为正则且非完全极小？
• RQ4 能否将极小极大方法适配至非齐次 Allen–Cahn 方程，以产生具有非零平均曲率的解？
• RQ5 在何种条件下，可将一个极小极限变集扰动，以获得非极小且正则的极限，且其平均曲率为指定值？

主要发现

• 对任意维度 $n+1 \geq 3$ 的紧致黎曼流形 $N$ 及任意非负 Lipschitz 函数 $g$，存在一个拟嵌入的 $C^{2,\alpha}$ 超曲面 $M \subset N$，其平均曲率满足 $H_M = g\nu$，其中 $\nu$ 为某连续单位法向量。
• 若 $2 \leq n \leq 6$，奇点集 $\overline{M} \setminus M$ 为空；若 $n = 7$，为有限集；若 $n \geq 8$，则对任意 $\gamma > 0$，有 $\mathcal{H}^{n-7+\gamma}(\Sigma) = 0$。
• Allen–Cahn 近似中极限变集 $V$ 在可能存在的极小分量之外为 $C^{2,\alpha}$ 正则，且这些极小部分可被光滑切除。
• 若极限变集为纯极小，则通过 Allen–Cahn 流构造新解序列，以生成非极小的极限变集，切除后再次保证其正则性。
• 所得超曲面 $M$ 是某双侧 $C^{2,\alpha}$ 浸入的像，其平均曲率为 $g\nu$；若 $g > 0$，则 $\overline{M}$ 为某 Caccioppoli 集的减小边界之闭包。
• 该方法适用于非负与非正的指定平均曲率函数，仅需反向法向即可。