[论文解读] The K\"ahler-Ricci flow on certain Calabi-Yau fibrations

Yashan Zhang|arXiv (Cornell University)|May 3, 2017

Geometry and complex manifolds参考文献 17被引用 3

一句话总结

本文研究了一维基空间上的卡拉比-丘纤维化上的凯勒-里奇流，证明在一致的下界里奇曲率条件下，该流在Gromov-Hausdorff拓扑下收敛于基空间上广义凯勒-爱因斯坦当前正则部分的度量完备化。基空间成为与黎曼曲面同胚的紧致长度度量空间，且连续方法也得到了类似结果。

ABSTRACT

We consider the K\ahler-Ricci flow on certain Calabi-Yau fibration, which is a product of two Calabi-Yau fibrations with one dimensional bases. Assume K\ahler-Ricci flow on total space admits a uniform lower bound for Ricci curvature, then K\ahler-Ricci flow converges in Gromov-Hausdorff topology to the metric completion of the regular part of generalized K\ahler-Einstein current on the base, which is a compact length metric space homeomorphic to the base. The analogue result for the continuity method is also obtained. During the proof, we show the metric completion of the regular part of a generalized K\ahler-Einstein current on a Riemann surface is compact.

研究动机与目标

• 分析一维基空间上卡拉比-丘纤维化上的凯勒-里奇流的长期行为。
• 在一致的下界里奇曲率条件下，建立凯勒-里奇流在Gromov-Hausdorff拓扑下的收敛性。
• 将极限空间表征为基空间上广义凯勒-爱因斯坦当前正则部分的度量完备化。
• 将结果推广至连续方法，证明类似的收敛性。

提出的方法

• 分析两个一维基空间卡拉比-丘纤维化乘积上的凯勒-里奇流。
• 对里奇曲率施加一致下界以控制曲率退化。
• 利用度量几何证明黎曼曲面上广义凯勒-爱因斯坦当前正则部分的度量完备化是紧致的。
• 应用Gromov-Hausdorff收敛技术，将极限空间识别为基空间正则部分的度量完备化。
• 通过将基于流的论证适配到连续框架，建立连续方法的类比结果。
• 利用卡拉比-丘纤维化的结构，将问题约化为基空间的分析。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，卡拉比-丘纤维化上的凯勒-里奇流在Gromov-Hausdorff拓扑下收敛？
• RQ2 当里奇曲率被一致地从下方有界时，极限空间的性质是什么？
• RQ3 在黎曼曲面上，广义凯勒-爱因斯坦当前正则部分的度量完备化行为如何？
• RQ4 凯勒-里奇流的收敛结果能否推广至连续方法？
• RQ5 极限空间是否与基空间同胚，并配备有紧致长度度量结构？

主要发现

• 凯勒-里奇流在Gromov-Hausdorff拓扑下收敛于基空间上广义凯勒-爱因斯坦当前正则部分的度量完备化。
• 极限空间是一个与基黎曼曲面同胚的紧致长度度量空间。
• 黎曼曲面上广义凯勒-爱因斯坦当前正则部分的度量完备化是紧致的。
• 该收敛结果在总空间上具有统一的里奇曲率下界假设下成立。
• 在相同类别的纤维化上，连续方法也建立了类似的收敛性。
• 极限空间的结构本质上属于基空间，与纤维的奇点无关。