[论文解读] The tail process and tail measure of continuous time regularly varying stochastic processes

Philippe Soulier|arXiv (Cornell University)|Apr 1, 2020

Stochastic processes and financial applications参考文献 52被引用 14

一句话总结

本文将此前针对离散时间长尾时间序列所发展的尾过程与尾测度理论，拓展至具有右连左极样本路径的连续时间随机过程。在 $J_1$ 拓扑下，证明了这些工具依然有效，建立了齐次平移不变测度的结构性表示，并推导出正则变异性条件，其应用涵盖极稳态与和稳态过程。

ABSTRACT

The goal of this paper is to investigate the tools of extreme value theory originally introduced for discrete time stationary stochastic processes (time series), namely the tail process and the tail measure, in the framework of continuous time stochastic processes with paths in the space $\\mathcal{D}$ of c\\`adl\\`ag functions indexed by $\\mathbb{R}$, endowed with Skorohod's $J_1$ topology. We prove that the essential properties of these objects are preserved, with some minor (though interesting) differences arising. We first obtain structural results which provide representation for homogeneous shift-invariant measures on $\\mathcal{D}$ and then study regular variation of random elements in $\\mathcal{D}$. We give practical conditions and study several examples, recovering and extending known results.

研究动机与目标

• 将极值理论的框架，特别是尾过程与尾测度，从离散时间拓展至连续时间长尾随机过程。
• 在 $J_1$ 拓扑下，建立空间 $\mathcal{D}$ 上齐次平移不变测度的存在性及其结构性质。
• 为 $\mathcal{D}(\mathbb{R})$ 中的随机元提供正则变异性实用条件，确保尾过程与尾测度定义良好且适用于统计推断。
• 通过应用新的连续时间框架，恢复并拓展关于极稳态与和稳态过程的已知结果。
• 阐明反聚集条件与簇点过程在刻画连续时间极值依赖结构中的作用。

提出的方法

• 利用配备 $J_1$ 拓扑的 $\mathcal{D}(\mathbb{R})$ 空间上的模糊收敛理论，定义连续时间过程的正则变异性。
• 推导 $\mathcal{D}$ 上齐次平移不变测度的谱表示，推广离散时间下的结果。
• 引入混合移动平均表示以建模尾测度，并将其与簇点过程联系起来。
• 应用锚定映射将尾测度与尾过程关联，保持齐次性与平移不变性。
• 运用稳定过程与泊松点过程的技术，分析如 $\sup_{a\leq s\leq b}|X(s)|$ 等泛函的尾部行为。
• 通过矩界与指数矩估计（例如利用 $G(y)$ 和 $\Gamma_j$）证明极限下的收敛性与尾指数一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将离散时间时间序列中的尾过程与尾测度概念推广至具有右连左极路径的连续时间随机过程？
• RQ2 在 $J_1$ 拓扑下，$\mathcal{D}(\mathbb{R})$ 空间上齐次平移不变测度的结构性质是什么？
• RQ3 连续时间随机过程在 $\mathcal{D}(\mathbb{R})$ 中何时表现出正则变异性？
• RQ4 反聚集条件如何影响连续时间下的簇结构与极值行为？
• RQ5 能否通过所提出的连续时间框架恢复并拓展关于极稳态与和稳态过程的已知结果？

主要发现

• 在 $J_1$ 拓扑下，连续时间长尾随机过程的尾过程与尾测度定义良好，且保留了离散时间下的关键性质。
• 空间 $\mathcal{D}$ 上的齐次平移不变测度具有谱表示，并可通过混合移动平均表示，推广了离散时间下的结果。
• 由于齐次性与平移不变性，尾测度完全决定了尾过程，反之亦然，确认了离散时间下已建立的对偶性。
• 对于 $\alpha \in (0,2)$ 的和稳定过程，泛函 $\sup_{a\leq s\leq b}|X(s)|$ 的尾指数恰好为 $\alpha$，如极限 $\limsup_{x\to\infty} x^\alpha \mathbb{P}(\sup_{a\leq s\leq b}|X(s)| > x) = 1$ 所示。
• 连续时间下的簇点过程继承了离散情形的性质，其分布通过泊松点过程与归一化稳定过程刻画。
• 尾指数证明技术依赖于矩界与指数矩估计，表明尾概率以 $x^{-\alpha}$ 速率衰减，且常数精确。