[论文解读] Topological obstructions to implementing controlled unknown unitaries

Zuzana Gavorová, Matan Seidel+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 19, 2020

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 28被引用 12

一句话总结

该论文证明，即使在允许事后选择（postselection）的情况下，使用对 $U$ 或 $U^\dagger$ 的有限次查询，也无法从根本上实现对未知酉操作 $U$ 的受控版本——即仅当控制量子比特为 $|1\rangle$ 时才应用 $U$——这是由于拓扑障碍所致。关键结果是通过类 Borsuk-Ulam 定理的拓扑论证，推广了以往的不可能性结果，表明此类受控操作仅在 $U^m$ 的指数 $m$ 是酉矩阵维度 $d$ 的倍数时才可能实现。该结果在所有 $U \in U(d)$ 的最坏情况要求下成立，但若放松最坏情况条件或测量类型，则结果不成立。

ABSTRACT

Is a quantum algorithm capable of implementing an if-clause? Given a black-box subroutine, a $d$-dimensional unitary $U\in U(d)$, a quantum if-clause would correspond to applying it to an input qudit if and only if the value of a control qubit is $1$. It was previously shown by Thompson et al. and Araujo et al. that implementations using single access to the oracle $U$ are impossible. Our main result is a strong generalization of this impossibility result: we prove that there is no unitary oracle algorithm implementing $control_\phi(U)=\left|0 ight>\!\!\left \!\!\left<1 ight|\otimes U$, for some $U$-dependent phase $\phi(U)$, even if allowed any finite number of calls to $U$ and $U^\dagger$, and even if required to only approximate the desired operator $control_\phi(U)$. Even further, there is no such \emph{postselection} oracle algorithm, i.e. a unitary oracle algorithm followed by a binary success/fail measurement, that reports success and implements $control_\phi(U)$ with a nonzero probability for each $U\in U(d)$. Our proof relies on topological arguments which can be viewed as a modification of the Borsuk-Ulam theorem. Combining the topological arguments with the algorithm of Dong et al. in fact leads to an interesting dichotomy: implementing $control_\phi(U^m)$ in our model is possible if and only if the integer $m$ is a multiple of the oracle's dimension $d$. Our impossibility no longer holds if the model is relaxed, either by dropping the worst-case requirement that the algorithm works for all $U\in U(d)$, or, remarkably, by allowing measurements more general than a binary postselection measurement. We observe that for both relaxations, inefficient algorithms exist, and it remains open whether efficient ones do.

研究动机与目标

• 确定量子算法是否能仅通过量子预言机访问，实现对未知酉操作 $U$ 的受控-if 操作。
• 研究在仅使用 $U \in U(d)$ 的情况下，实现 $control_\phi(U) = |0\rangle\!\langle 0| \otimes I + |1\rangle\!\langle 1| \otimes U$ 的限制，即使近似实现也存在困难。
• 探索事后选择或约束条件的放松是否能克服该不可能性。
• 建立一个二分法：当且仅当 $m$ 是酉矩阵维度 $d$ 的倍数时，$control_\phi(U^m)$ 才可实现。

提出的方法

• 证明采用受 Borsuk-Ulam 定理启发的拓扑论证，分析酉演化映射的连续性和全局结构。
• 将所有 $U \in U(d)$ 的空间视为一个拓扑流形，并证明任何连续实现 $control_\phi(U)$ 的映射都会违反拓扑不变性。
• 该方法分析了在对 $U$ 和 $U^\dagger$ 进行有限次查询时，包括通过二元测量进行事后选择的酉预言机算法的行为。
• 结合拓扑约束与 Dong 等人的算法框架，推导出可实现性的必要且充分条件。
• 分析表明，相位 $\phi(U)$ 必须以一种无法在不引发拓扑矛盾的情况下一致实现的方式依赖于 $U$。
• 该框架同时考虑了精确实现与近似实现，证明即使在近似情形下也存在不可能性。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一个量子算法，仅通过有限次查询 $U$ 和 $U^\dagger$，就能实现对未知酉操作 $U$ 的受控-if 操作？
• RQ2 是否能够通过事后选择实现 $control_\phi(U)$，使得对所有 $U \in U(d)$，算法均以非零概率成功？
• RQ3 酉矩阵的维度 $d$ 在决定 $control_\phi(U^m)$ 是否可实现方面起什么作用？
• RQ4 若放松最坏情况要求（即允许对某些 $U$ 失败），是否能实现可实现性？
• RQ5 是否更一般的测量策略（而非仅二元事后选择）能够规避该拓扑障碍？

主要发现

• 由于拓扑障碍，不存在任何有限查询的酉预言机算法，能够实现对未知 $U \in U(d)$ 的 $control_\phi(U)$，即使近似实现也不行。
• 不存在任何事后选择预言机算法，能够对所有 $U \in U(d)$ 以非零成功概率实现 $control_\phi(U)$，即使允许任意有限次查询。
• 该不可能性结果适用于任何 $U$-依赖相位 $\phi(U)$，而不仅限于固定相位。
• 出现一个二分法：当且仅当 $m$ 是酉矩阵维度 $d$ 的倍数时，$control_\phi(U^m)$ 才可实现。
• 若放松最坏情况要求（即允许对某些 $U$ 失败）或允许更一般的测量方式，可实现非高效算法，但高效算法仍为开放问题。
• 该拓扑障碍源于广义的 Borsuk-Ulam 论证，表明从 $U(d)$ 到受控操作空间的连续映射无法全局存在。