[论文解读] Towards a description of the double ramification hierarchy for Witten's $r$-spin class

Alexandr Buryak, Jérémy Guéré|arXiv (Cornell University)|Jul 21, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 52被引用 15

一句话总结

该论文通过一种新方法利用霍奇积分公式计算哈密顿量，证明了当 $ r = 3,4,5 $ 时，威滕的 $ r $-自旋理论的双重分歧层次与杜勃里文–齐浩层次之间存在米乌等价关系。此外，还为这些值构建了 $ r $-阶盖尔范德–迪克西层次的量化，扩展了近期在上同调场论中可积系统的研究成果。

ABSTRACT

The double ramification hierarchy is a new integrable hierarchy of hamiltonian PDEs introduced recently by the first author. It is associated to an arbitrary given cohomological field theory. In this paper we study the double ramification hierarchy associated to the cohomological field theory formed by Witten's $r$-spin classes. Using the formula for the product of the top Chern class of the Hodge bundle with Witten's class, found by the second author, we present an effective method for a computation of the double ramification hierarchy. We do explicit computations for $r=3,4,5$ and prove that the double ramification hierarchy is Miura equivalent to the corresponding Dubrovin--Zhang hierarchy. As an application, this result together with a recent work of the first author with Paolo Rossi gives a quantization of the $r$-th Gelfand--Dickey hierarchy for $r=3,4,5$.

研究动机与目标

• 使用模空间上的交点数描述威滕的 $ r $-自旋类的双重分歧层次。
• 通过霍奇积分公式显式计算 $ r=3,4,5 $ 时双重分歧层次的哈密顿量。
• 建立 $ r=3,4,5 $ 时双重分歧层次与杜勃里文–齐浩层次之间的米乌等价性。
• 通过双重分歧层次框架，为 $ r=3,4,5 $ 的 $ r $-阶盖尔范德–迪克西层次提供量化。
• 将量化框架扩展至 $ r $-自旋理论中出现的非标准泊松结构。

提出的方法

• 使用霍奇丛的上顶陈类与威滕的 $ r $-自旋类乘积的公式来计算交点数。
• 通过 $ \overline{\mathcal{M}}_{g,n} $ 上的 DR 循环、$ \tilde{\rho} $-类和 $ \tilde{\theta} $-类的交点数，实施双重分歧层次的构造。
• 利用米乌变换将双重分歧层次与杜勃里文–齐浩层次关联起来。
• 通过具有形变交换关系的 Weyl 代数 $ \mathfrak{W}_N[[\varepsilon]] $ 构造双重分歧层次的量化。
• 对于 $ r=4,5 $，通过引入具有 $ \varepsilon $-依赖交换关系的形变代数 $ \widetilde{\mathfrak{W}}_N[[\varepsilon]]_{K^{\text{r-spin}}} $，修改量化程序。
• 利用米乌变换将量化哈密顿量拉回到形变代数，确保与杜勃里文–齐浩层次的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $ r=3,4,5 $ 时，$ r $-自旋理论的双重分歧层次是否与杜勃里文–齐浩层次米乌等价？
• RQ2 能否通过涉及威滕的 $ r $-自旋类的霍奇积分有效计算双重分歧层次的哈密顿量？
• RQ3 如何利用双重分歧层次框架为 $ r=3,4,5 $ 的 $ r $-阶盖尔范德–迪克西层次提供量化？
• RQ4 当哈密顿量结构非标准时（如 $ r=4,5 $），量化程序需要进行哪些修改？
• RQ5 米乌变换是否可用于在非标准情形下关联量化后的双重分歧层次与量化后的杜勃里文–齐浩层次？

主要发现

• 通过显式计算和稀释方程，证明了当 $ r=3,4,5 $ 时，$ r $-自旋理论的双重分歧层次与杜勃里文–齐浩层次之间存在米乌等价性。
• 对于 $ r=3 $，通过霍奇积分公式显式计算了双重分歧层次的哈密顿量 $ \overline{g}_{1,1} $。
• 通过具有 $ \hbar $-形变交换关系的 Weyl 代数 $ \mathfrak{W}_N[[\varepsilon]] $ 构造了双重分歧层次的量化。
• 对于 $ r=4 $ 和 $ r=5 $，通过具有 $ \varepsilon $-依赖对易子的形变代数 $ \widetilde{\mathfrak{W}}_N[[\varepsilon]]_{K^{\text{r-spin}}} $ 实现了量化。
• 米乌变换在形变代数与标准 Weyl 代数之间诱导出一个同构，从而实现了杜勃里文–齐浩层次的一致量化。
• 该结果为 $ r=3,4,5 $ 的 $ r $-阶盖尔范德–迪克西层次提供了量化，扩展了此前关于 $ r=3 $ 情况的研究。