[论文解读] Towards the smoothness of optimal maps on Riemannian submersions and Riemannian products (of round spheres in particular)

Young‐Heon Kim, Robert J. McCann|ArXiv.org|Jun 2, 2008

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 13被引用 14

一句话总结

本文建立了黎曼积和子mersions的交叉曲率非负性，特别证明了n维球面满足该条件，从而意味着最优传输映射的A3w正则性条件。结果揭示了一个广泛的新流形类——超越常曲率流形——在其中最优映射预期为光滑，且该猜想已在复射影空间CPⁿ中得到证实。

ABSTRACT

The key condition A3w of Ma, Trudinger and Wang for regularity of optimal transportation maps is implied by the nonnegativity of a pseudo-Riemannian curvature -- which we call cross-curvature -- induced by the transportation cost. For the Riemannian distance squared cost, it is shown that (1) cross-curvature nonnegativity is preserved for products of two manifolds; (2) both A3w and cross-curvature nonnegativity are inherited by Riemannian submersions; and (3) the $n$-dimensional round sphere satisfies cross-curvature nonnegativity. From these results, a large new class of Riemannian manifolds satisfying cross-curvature nonnegativity (thus A3w) is obtained, including many whose sectional curvature is far from constant. All known obstructions to the regularity of optimal maps are absent from these manifolds, making them a class for which it is natural to conjecture that regularity holds. This conjecture is confirmed for complex projective space CP^n.

研究动机与目标

• 通过分析曲率条件，建立黎曼子mersions和积流形上最优传输映射的光滑性。
• 研究A3w条件——最优传输正则性的关键——是否在非常曲率流形上成立。
• 通过证明n维球面上交叉曲率非负性，将已知正则性结果扩展至平坦或对称空间之外的流形类。
• 通过验证必要的曲率条件，确认复射影空间CPⁿ上最优映射正则性的猜想。

提出的方法

• 利用由黎曼距离平方代价在$ M \times \bar{M} $上诱导的伪黎曼度量$ h $定义交叉曲率。
• 将Ma-Trudinger-Wang的A3w条件应用为切丛中零向量的交叉曲率非负性。
• 通过曲率传播论证，证明交叉曲率非负性在黎曼积和子mersions下保持不变。
• 利用对称性将球面上的问题约化为由$ \hat{r} $和$ q $张成的二维平面。
• 通过沿Jacobi场对能量泛函的二阶导数进行显式计算，分析交叉曲率的符号。
• 利用三角恒等式和渐近分析，证明关于$ S = \tan\psi $的二次型的判别式为负，从而表明曲率表达式为正。

实验结果

研究问题

• RQ1 黎曼流形积的交叉曲率是否保持非负？
• RQ2 黎曼子mersions的交叉曲率是否非负，且是否保持A3w条件？
• RQ3 n维球面是否满足最优传输正则性的A3w条件？
• RQ4 能否通过曲率分析确认复射影空间$ \mathbf{CP}^n $上最优映射正则性的猜想？
• RQ5 交叉曲率在何种条件下为零，这是否意味着退化或正则性？

主要发现

• 交叉曲率非负性在两个流形的黎曼积下保持不变，扩展了满足A3w条件的流形类。
• A3w条件与交叉曲率非负性均被黎曼子mersions继承，从而拓宽了正则性结果的适用范围。
• 尽管n维球面的截面曲率非常数，其仍满足交叉曲率非负性，从而意味着A3w条件成立。
• 当切向量$ q $、$ w $和$ \hat{r} $全部平行时，交叉曲率为零的情况发生，确认了几乎正的交叉曲率。
• 通过交叉曲率分析验证了A3w条件，从而确认了$ \mathbf{CP}^n $上最优映射正则性的猜想。
• 球面上问题的二维约化允许对$ S = \tan\psi $的二次型进行完整分析，通过判别式为负证明其正定性。