[论文解读] Transposed Hom-Poisson and Hom-pre-Lie Poisson algebras and bialgebras

Ismail Laraiedh, Sergei Silvestrov|arXiv (Cornell University)|Jun 6, 2021

Advanced Topics in Algebra参考文献 83被引用 7

一句话总结

本文引入了转置同态-Poisson代数与同态-pre-Lie Poisson代数，建立了它们的双模、匹配对及Manin三元组结构。证明了$ϴ$-算子可从转置同态-Poisson代数诱导出同态-pre-Lie Poisson代数结构，并表明可逆$ϴ$-算子刻画了何时一个转置同态-Poisson代数可作为同态-pre-Lie Poisson代数的子邻接代数出现。

ABSTRACT

The notions of transposed Hom-Poisson and Hom-pre-Lie Poisson algebras are introduced. Their bimodules and matched pairs are defined and the relevant properties and theorems are given. The notion of Manin triple of transposed Hom-Poisson algebras is introduced, and its equivalence to the transposed Hom-Poisson bialgebras is investigated. The notion of $\mathcal{O}$-operator is exploited to illustrate the relations existing between transposed Hom-Poisson and Hom-pre-Lie Poisson algebras.

研究动机与目标

• 在同态代数框架下，引入并形式化转置同态-Poisson代数与同态-pre-Lie Poisson代数的代数结构，作为Poisson代数与pre-Lie代数的推广。
• 为转置同态-Poisson代数定义双模与匹配对，以在同态代数设定下构建更复杂的代数系统。
• 为转置同态-Poisson代数引入Manin三元组的概念，并建立其与转置同态-Poisson双代数的等价性。
• 探讨$ϴ$-算子在从转置同态-Poisson代数生成同态-pre-Lie Poisson代数结构中的作用。
• 通过可逆$ϴ$-算子刻画转置同态-Poisson代数何时同构于同态-pre-Lie Poisson代数的子邻接转置同态-Poisson代数。

提出的方法

• 通过涉及交换同态结合积与由代数自同态$\alpha$扭曲的李括号的扭曲Leibniz型恒等式，引入转置同态-Poisson代数。
• 将同态-pre-Lie Poisson代数定义为具有交换同态结合积与满足特定相容条件的同态-pre-Lie积的代数。
• 为转置同态-Poisson代数构造双模与匹配对，以在同态代数设定下推广表示理论。
• 定义转置同态-Poisson代数的Manin三元组，并通过对偶性与相容性条件证明其与转置同态-Poisson双代数的等价性。
• 利用转置同态-Poisson代数表示上的$ϴ$-算子，在底层模上诱导出同态-pre-Lie Poisson代数结构。
• 建立可逆$ϴ$-算子在转置同态-Poisson代数上作用时，可生成一个同态-pre-Lie Poisson代数，其子邻接转置同态-Poisson代数同构于原代数。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在同态代数设定下推广Poisson代数与pre-Lie代数的概念，以定义转置同态-Poisson代数与同态-pre-Lie Poisson代数？
• RQ2 转置同态-Poisson代数作为同态-pre-Lie Poisson代数的子邻接代数出现的充要条件是什么？
• RQ3 $ϴ$-算子如何介导从转置同态-Poisson代数构造同态-pre-Lie Poisson代数结构？
• RQ4 Manin三元组在刻画转置同态-Poisson双代数中起什么作用？
• RQ5 转置同态-Poisson代数的表示理论与构造相容同态-pre-Lie Poisson代数结构之间存在何种关系？

主要发现

• 转置同态-Poisson代数结构由一个交换同态结合积与一个满足涉及结构自同态$\alpha$的扭曲Leibniz恒等式的李括号定义。
• 通过$ϴ$-算子从转置同态-Poisson代数构造同态-pre-Lie Poisson代数的证明表明，该构造保持代数相容性，并产生一个转置同态-Poisson代数的同态映射。
• 当$ϴ$-算子可逆时，同态-pre-Lie Poisson代数的子邻接转置同态-Poisson代数同构于原始的转置同态-Poisson代数。
• 在转置同态-Poisson代数上存在一个可逆$ϴ$-算子，当且仅当该代数同构于某个同态-pre-Lie Poisson代数的子邻接转置同态-Poisson代数。
• 在转置同态-Poisson代数上，恒等映射作为正则表示下的$ϴ$-算子，当且仅当该代数具有相容的同态-pre-Lie Poisson代数结构。
• 在转置同态-Poisson代数上，Rota-Baxter算子$R$通过$ x \diamond y = R(x)\cdot y + x\cdot R(y) $与$ x \ast y = \{R(x), y\} $诱导出同态-pre-Lie Poisson代数结构，且$R$是到原代数的同态映射。