[论文解读] Twisted geometric Satake equivalence via gerbes on the factorizable grassmannian

Ryan Reich|arXiv (Cornell University)|Dec 28, 2010

Advanced Algebra and Geometry参考文献 12被引用 4

一句话总结

本文通过对称因子化 gerbe 将经典几何 Satake 对应与 Finkelberg–Lysenko 的扭曲版本统一为一种扭曲的、可因子化的几何 Satake 等价关系。该等价关系表明，经此类 gerbe 扭曲的 perverse 层在范畴上实现了一个由权格上二次型构造的对偶群的表示，从而通过 gerbe 与 t-结构的统一框架，将因子化与扭曲情形统一起来。

ABSTRACT

We prove a generalization of the twisted geometric Satake equivalence of Finkelberg--Lysenko in the context of the factorizable grassmannian of a reductive group G relative to a smooth curve X, similar to Gaitsgory's generalization in "On de Jong's conjecture" of the Satake equivalence itself. In order to express the dependence of this result on factorizability, we consider a certain 2-category of gerbes on this grassmannian, which we call "sf gerbes"; the theorem then concerns perverse sheaves twisted by such gerbes. This notion of twisting differs from, but in special cases is equivalent to, that considered by Finkelberg--Lysenko. We give a classification of these gerbes in terms of quadratic forms on the coweight lattice of G and gerbes on X. In addition, we introduce the technical device of universal local acyclicity (ULA) into the proof of the Satake equivalence, using it in combination with Beilinson's nearby cycles gluing of perverse sheaves to reduce all of the main constructions in the Mirkovic--Vilonen proof of the equivalence to the ULA case, where they have simple descriptions whose properties have simple proofs. We also give a geometric proof that the category of spherical perverse sheaves on the ordinary affine grassmannian is semisimple.

研究动机与目标

• 将几何 Satake 等价关系、因子化 Satake 等价关系（Gaitsgory）以及扭曲 Satake 等价关系（Finkelberg–Lysenko）统一于一个框架之中。
• 将扭曲的概念从单位根推广至 gerbe，特别是贝利诺森–德林格兰曼上的对称因子化 gerbe。
• 证明仿射格拉斯曼流形上扭曲的 perverse 层范畴与由权格上二次型构造的对偶群表示范畴等价。
• 通过与 Mirković–Vilonen 方法兼容的形式系统，为扭曲 Satake 范畴的张量范畴结构提供新证明。
• 通过双重群上 gerbe 的对偶性，建立这些扭曲 Satake 等价关系与量子 Langlands 对应之间的联系。

提出的方法

• 引入对称因子化 gerbe 作为单位根扭曲的推广，其参数由李群 G 的权格上的二次型给出。
• 利用 gerbe 在贝利诺森–德林格兰曼上定义扭曲的导出范畴与扭曲的 t-结构，以保持 perverse 层理论所需的性质。
• 使用等变扭曲对象的形式系统与 gerbe 上的乘法结构，确保其与卷积和融合运算的兼容性。
• 在绝对格拉斯曼流形上构造扭曲的纤维函子，并通过卷积与 d´evissage 技巧证明扭曲 Satake 范畴的半单性。
• 应用 Tannakian 对偶性，识别与给定二次型相关联的对偶群，证明当该型为平凡时，其同构于 Langlands 对偶。
• 通过非退化的双线性型建立 G 与 LG 上 gerbe 之间的对偶性，从而实现扭曲 Satake 范畴的等价，实现局部量子 Langlands 对应。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将几何 Satake 等价关系推广，以同时包含因子化与任意 gerbe 扭曲？
• RQ2 哪些类型的 gerbe 可用于扭曲 Satake 等价关系，且保持张量范畴结构？
• RQ3 格拉斯曼流形上的对称因子化 gerbe 与 G 的权格上二次型之间有何关系？
• RQ4 能否通过一个统一框架同时恢复并推广经典情形与 Finkelberg–Lysenko 情形，实现对扭曲 Satake 等价关系的统一？
• RQ5 G 与 Langlands 对偶群 LG 的 gerbe 扭曲 Satake 范畴之间存在何种关系？该关系如何与量子 Langlands 对应关联？

主要发现

• 贝利诺森–德林格兰曼上 G-扭曲的球对称 perverse 层范畴，与由 G 的权格上二次型 Q 构造的半单群 ˇGQ 的表示范畴等价。
• 与二次型 Q 关联的对偶群 ˇGQ 同构于 Langlands 对偶 LG 当且仅当 Q(λ) = (−1)^⟨2ρ,λ⟩，这对应于贝利诺森–德林格兰曼设定中的临界扭曲。
• 与二次型 Q(λ) = (−1)^⟨2ρ,λ⟩ 关联的 gerbe 作为 gerbe 是平凡的，但作为对称因子化 gerbe 是非平凡的，且对应于 [BD] 中使用的临界扭曲。
• 对于非退化的 ℂ-值 W-不变双线性型 b，与 Q(λ) = exp(πi b(λ,λ)) 关联的对偶群 ˇGQ 同构于 LG 的 Langlands 对偶，且在相同型下建立 G 与 LG 上 gerbe 之间的对偶性。
• 与对偶 gerbe 关联的扭曲 Satake 范畴 Sph(Gn) 与 Sph(LGn) 等价，实现量子 Langlands 对应的局部版本。
• 证明表明扭曲 Satake 范畴是半单的，且其简单对象对应于 ˇGQ 的不可约表示，卷积保持张量结构。