[论文解读] Using the internal language of toposes in algebraic geometry

Ingo Blechschmidt|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 100被引用 11

一句话总结

本文提出了一种使用拓扑内部语言的代数几何合成方法，特别是概形的小和大扎里斯基拓扑。通过将层视为普通结构（例如局部环、自由模）来处理，简化了定义与证明——以格罗滕迪克的通用自由性引理的范畴化证明为例，并建立了一个关于模的一般转移原理。

ABSTRACT

Any scheme has its associated little and big Zariski toposes. These toposes support an internal mathematical language which closely resembles the usual formal language of mathematics, but is "local on the base scheme": For example, from the internal perspective, the structure sheaf looks like an ordinary local ring (instead of a sheaf of rings with local stalks) and vector bundles look like ordinary free modules (instead of sheaves of modules satisfying a local triviality condition). The translation of internal statements and proofs is facilitated by an easy mechanical procedure. We investigate how the internal language of the little Zariski topos can be exploited to give simpler definitions and more conceptual proofs of the basic notions and observations in algebraic geometry. To this end, we build a dictionary relating internal and external notions and demonstrate its utility by giving a simple proof of Grothendieck's generic freeness lemma in full generality. We also employ this framework to state a general transfer principle which relates modules with their induced quasicoherent sheaves, to study the phenomenon that some properties spread from points to open neighborhoods, and to compare general notions of spectra. We employ the big Zariski topos to set up the foundations of a synthetic account of scheme theory. This account is similar to the synthetic account of differential geometry, but has a distinct algebraic flavor. Central to the theory is the notion of synthetic quasicoherence, which has no analogue in synthetic differential geometry. We also discuss how various common subtoposes of the big Zariski topos can be described from the internal point of view and derive explicit descriptions of the geometric theories which are classified by the fppf and by the surjective topology.

研究动机与目标

• 开发一种基于拓扑内部语言的代数几何合成框架。
• 通过在小扎里斯基拓扑中内化，简化代数几何中的经典定义与证明。
• 建立模与其关联的拟相干层之间的一般转移原理。
• 通过大扎里斯基拓扑提供一种概形理论的合成描述，引入合成拟相干性作为新概念。
• 通过直觉逻辑与拓扑语义学，阐明代数几何时的逻辑与范畴基础。

提出的方法

• 利用拓扑的内部语言，将层重新解释为从内部视角看的普通数学对象（例如局部环、自由模）。
• 在拓扑中应用直觉逻辑，形式化关于概形及其结构的陈述。
• 通过机械程序将外部陈述翻译为内部逻辑，保持逻辑有效性。
• 使用双重否定与概形理论稠密性等调制，表征拓扑与几何性质。
• 在大扎里斯基拓扑中定义合成拟相干性，作为类比经典代数几何中拟相干性的基础概念。
• 从大扎里斯基拓扑的内部视角，推导出由fppf与满射拓扑分类的几何理论。

实验结果

研究问题

• RQ1 小扎里斯基拓扑的内部语言如何简化代数几何时基本概念的定义与证明？
• RQ2 从内部视角看，模与其关联的拟相干层之间的确切关系是什么？
• RQ3 内部语言如何被用于在一般情形下证明格罗滕迪克的通用自由性引理？
• RQ4 合成拟相干性在概形理论的合成描述中起什么作用？
• RQ5 从内部视角看，大扎里斯基拓扑的子拓扑如何对应于几何理论？

主要发现

• 小扎里斯基拓扑的内部语言使得结构层可被视为普通局部环，向量丛可被视为自由模，从而简化了概念理解。
• 通过内部语言与双重否定调制，获得了一种新且概念更简单的格罗滕迪克通用自由性引理的证明。
• 建立了一般转移原理，通过内部逻辑将模与其诱导的拟相干层联系起来。
• 大扎里斯基拓扑支持概形理论的合成描述，其中合成拟相干性为核心且新颖的概念。
• fppf与满射拓扑被明确描述为由大扎里斯基拓扑的内部逻辑分类的几何理论。
• 通过涉及析取与否定的内部逻辑陈述，表征了诸如拟紧性、不可约性与概形理论稠密性等拓扑性质。