[论文解读] Variational Hamiltonian Diagonalization for Dynamical Quantum Simulation

Benjamin Commeau, M. Cerezo+4 more|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2020

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 42被引用 50

一句话总结

引入 Variational Hamiltonian Diagonalization (VHD)，一种混合量子-经典方法，用于近似对角化哈密顿量，允许使用固定深度电路实现快速前进的量子动力学，并且没有 Trotter 误差。展示操作意义和可训练性，在 XY 模型上进行数值验证。

ABSTRACT

Dynamical quantum simulation may be one of the first applications to see quantum advantage. However, the circuit depth of standard Trotterization methods can rapidly exceed the coherence time of noisy quantum computers. This has led to recent proposals for variational approaches to dynamical simulation. In this work, we aim to make variational dynamical simulation even more practical and near-term. We propose a new algorithm called Variational Hamiltonian Diagonalization (VHD), which approximately transforms a given Hamiltonian into a diagonal form that can be easily exponentiated. VHD allows for fast forwarding, i.e., simulation beyond the coherence time of the quantum computer with a fixed-depth quantum circuit. It also removes Trotterization error and allows simulation of the entire Hilbert space. We prove an operational meaning for the VHD cost function in terms of the average simulation fidelity. Moreover, we prove that the VHD cost function does not exhibit a shallow-depth barren plateau, i.e., its gradient does not vanish exponentially. Our proof relies on locality of the Hamiltonian, and hence we connect locality to trainability. Our numerical simulations verify that VHD can be used for fast-forwarding dynamics.

研究动机与目标

• 通过降低电路深度并消除 Trotter 误差，推动近端量子动力学模拟。
• 开发一个变分方案对整个哈密顿量进行对角化，从而能够高效地模拟时间演化。
• 提供具有有意义保真度界限的操作成本函数，并在局部性假设下证明不存在浅层 barren plateaus。
• 通过数值实验表明，VHD 能实现超越相干时间的快速前进动力学。
• 展示如何通过 Variational Fast Forwarding (VFF) 的预训练进一步降低资源需求。

提出的方法

• 提出一个近似对角化哈密顿量的解猜 H̃(θ,γ)=W(θ)D(γ)W†(θ)。
• 对 W(θ) 使用硬件高效的分层电路，且 D(γ) 取局部且可处理的形式，由 Z^k 项组成。
• 定义代价函数 C_VHD(θ,γ)=||H−H̃(θ,γ)||_HS^2/d，以及用于引导训练的归一化版本。
• 通过 Hadamard 测试电路，评估代价项 c_pqk(θ)=Tr(σ^pq WZ^k W†)/d，并计算梯度。
• 在混合量子-经典循环中迭代优化 (θ,γ)，直到达到基于期望保真度的终止条件。
• 可选地使用 Variational Fast Forwarding (VFF) 进行预训练，为 θ 和 γ 提供良好的初始值。

实验结果

研究问题

• RQ1 变分对角化的哈密顿量是否能够提供一个固定深度的电路来实现准确的长时间量子动力学？
• RQ2 VHD 的代价函数是否以保真度的形式具有操作意义，并且是否能够保证一个终止标准？
• RQ3 在局部性条件下，VHD 的代价景观是否避免浅层鞍点并在系统规模增大时仍然可训练？
• RQ4 在执行 VHD 之前，VFF 预训练在降低量子资源需求方面有多有效？
• RQ5 在代表性模型（如 XY 量子自旋链）中，VHD 在快速前进动力学方面的实际性能如何？

主要发现

• VHD 产生一个固定深度的量子电路，以近似时间演化 e^−iHt，直到时间 T 的 V(T)=W e^{−iDT} W†。
• VHD 的代价提供一个与平均仿真保真度相关的界限，使终止条件具有意义。
• 在局部性条件下（局部 a-local H 和局部 D），梯度方差不会随 n 指数级下降，避免浅层深度的 barren plateaus（定理 1）。
• 对一维 XY 模型的数值实验表明，VHD 在优化后将代价下降到低于 1e−9（n=3）、1e−8（n=4）、1e−5（n=5）。
• 用 VFF 进行预训练有助于降低初始成本并加快收敛，但完整的 VHD 优化通过精确对角化 H 进一步消除了 Trotter 误差。
• 使用 VHD 的快速前进仿真在 n=3–5 量子比特的时间内平均保真度保持在 10^−3 以下，优于仅 VFF 的表现。