[论文解读] Virtual fundamental classes of derived stacks I

Adeel A. Khan|arXiv (Cornell University)|Sep 3, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 36被引用 16

一句话总结

本文利用平展 motivic Borel–Moore 上同调与导出版本的内在法丛锥，为拟光滑的导出 Artin 代数堆栈构造了虚拟基本类。它建立了函子性、基变换、多余交点以及 Grothendieck–Riemann–Roch 公式，并证明了非横截的 Bézout 定理与 Artin 代数堆栈的绝对纯度，将 Gabber 的结果从经典情形推广至更一般情形。

ABSTRACT

We construct the étale motivic Borel-Moore homology of derived Artin stacks. Using a derived version of the intrinsic normal cone, we construct fundamental classes of quasi-smooth derived Artin stacks and demonstrate functoriality, base change, excess intersection, and Grothendieck-Riemann-Roch formulas. These classes also satisfy a general cohomological Bézout theorem which holds without any transversity hypotheses. The construction is new even for classical stacks and as one application we extend Gabber's proof of the absolute purity conjecture to Artin stacks.

研究动机与目标

• 使用导出代数几何，为拟光滑的导出 Artin 代数堆栈发展虚拟基本类理论。
• 将内在法丛锥构造推广至导出堆栈，从而实现 Behrend–Fantechi 理论的导出版本。
• 在导出设定下，为虚拟类建立函子性、基变换与多余交点公式。
• 在不假设横截性的条件下，证明一个上同调意义的 Bézout 定理，从而扩展经典交点理论。
• 通过导出方法，将 Gabber 对绝对纯度猜想的证明扩展至 Artin 代数堆栈的设定。

提出的方法

• 利用 Voevodsky 的稳定 motivic 同伦类型及其在导出概形上的推广，为导出 Artin 代数堆栈构造平展 motivic Borel–Moore 上同调。
• 引入作为导出堆栈上向量丛堆栈的导出内在法丛锥，推广经典构造。
• 通过到法丛堆栈的形变来定义特化映射，从而实现虚拟基本类的构造。
• 利用由特化映射诱导的 Gysin 映射，将虚拟基本类定义为上同调中单位的像。
• 应用向量丛堆栈的同伦不变性与 Poincaré 对偶性，将虚拟类与内在几何数据关联起来。
• 将六操作框架（包括基变换与纯度）应用于导出 Artin 代数堆栈，以证明函子性与相容性结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何以一种推广经典情形的方式，为拟光滑的导出 Artin 代数堆栈构造虚拟基本类？
• RQ2 内在法丛锥的导出类比是什么？它在基变换与复合下如何表现？
• RQ3 是否可以在不假设横截性的导出设定下，形式化并证明一个非横截的 Bézout 定理？
• RQ4 如何将六操作框架扩展至导出 Artin 代数堆栈，以支持 motivic 上同调与 Gysin 映射？
• RQ5 能否通过导出代数几何方法，将 Gabber 的绝对纯度猜想扩展至 Artin 代数堆栈？

主要发现

• 虚拟基本类 $[\mathcal{X}/\mathcal{Y}]^{\mathrm{vir}}$ 作为单位在 motivic Borel–Moore 上同调下的像，由到法丛堆栈的形变所诱导的 Gysin 映射定义。
• 该构造满足函子性与基变换性质，其中 Gysin 映射 $f^!$ 通过特化映射与同伦不变性定义。
• 在不假设横截性的条件下，一般上同调 Bézout 定理成立，因为虚拟类在任意基变换下保持稳定。
• 虚拟类与多余交点公式及 Grothendieck–Riemann–Roch 公式相容，将经典结果推广至导出设定。
• 本文通过导出技巧与 motivic 同伦理论中的六操作，将 Gabber 的证明扩展至 Artin 代数堆栈，从而证明了绝对纯度。
• 导出六操作（包括纯度与基变换）被推广至导出 Artin 代数堆栈，其交换变换为可逆，并通过 motivic 范畴上的自然变换定义了欧拉类。