[论文解读] Weak convergence of Euler-Maruyama's approximation for SDEs under integrability condition

Jinghai Shao|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 24被引用 3

一句话总结

本文在不满足标准增长条件、而仅满足可积性条件的情形下，建立了带奇异漂移项的SDEs的Euler-Maruyama格式的弱收敛性。通过利用无维Harnack不等式与Girsanov定理，证明了即使在退化扩散情形下，收敛速率仍可达 $ \delta^{1/2 \wedge \alpha} $，并将该方法应用于随机阻尼哈密顿系统。

ABSTRACT

This work establishes the weak convergence of Euler-Maruyama's approximation for stochastic differential equations (SDEs) with singular drifts under the integrability condition in lieu of the widely used growth condition. This method is based on a skillful application of the dimension-free Harnack inequality. Moreover, when the drifts satisfy certain regularity conditions, the convergence rate is estimated. This method is also applicable when the diffusion coefficients are degenerate. A stochastic damping Hamiltonian system is studied as an illustrative example.

研究动机与目标

• 在经典增长条件不成立时，建立带奇异漂移项的SDEs的Euler-Maruyama逼近的弱收敛性。
• 用对漂移项更弱的可积性条件替代标准的增长条件或Lyapunov条件。
• 将收敛性分析扩展至退化扩散系数的情形。
• 在漂移项具有额外正则性假设的条件下，推导收敛速率。
• 通过一个具体实例——随机阻尼哈密顿系统，展示该方法的应用。

提出的方法

• 利用无维Harnack不等式处理不满足标准增长条件的奇异漂移项SDEs。
• 应用Girsanov定理在等价概率测度下重表述SDEs，从而可应用Harnack不等式。
• 构造辅助过程以解耦漂移项与扩散项，便于分析。
• 通过Euler-Maruyama格式进行时间离散化逼近，并比较精确解与近似解的分布。
• 基于可积性与正则性假设，验证Girsanov变换中的Novikov条件。
• 通过矩估计与随机积分的界，控制泛函期望值的差异，从而推导收敛速率。

实验结果

研究问题

• RQ1 当SDEs的漂移项违反标准增长条件时，Euler-Maruyama格式是否仍能实现弱收敛？
• RQ2 无维Harnack不等式是否可在弱于增长条件或Lyapunov条件的可积性条件下实现弱收敛性分析？
• RQ3 该方法是否可推广至扩散矩阵非一致非退化的退化扩散系数情形？
• RQ4 在漂移项具有额外正则性假设的条件下，Euler-Maruyama格式的收敛速率是多少？
• RQ5 在如随机阻尼哈密顿系统等具体模型中，该方法表现如何？

主要发现

• 在仅满足可积性条件而无需任何增长或Lyapunov条件的情形下，Euler-Maruyama格式对带奇异漂移项的SDEs实现了弱收敛。
• 在额外光滑性假设下，收敛速率为 $ \delta^{1/2 \wedge \alpha} $，其中 $ \alpha $ 为漂移项的正则性参数。
• 该方法适用于退化SDEs，如对随机阻尼哈密顿系统的分析所示。
• 无维Harnack不等式在验证Novikov条件及控制Girsanov变换中的Radon-Nikodym导数方面起到了关键作用。
• 该收敛结果适用于不属于 $ \mathbb{L}_p^q $ 类的漂移项，例如 $ b(x) = \left( \sum_{n=1}^\infty \log\left(1 + \frac{1}{|x - n|^2}\right) \right)^{1/2} - x $ 的例子。
• 通过矩估计与随机积分的界，最终通过解及其近似解的泛函期望值之差，导出了收敛速率。