[论文解读] Weights and t-structures: in general triangulated categories, for 1-motives, mixed motives, and for mixed Hodge complexes and modules

Mikhail V. Bondarko|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用 5

一句话总结

本文引入并研究了三角范畴中的横截权重与t-结构，建立了权重结构在t-结构心上诱导权重过滤的条件。主要贡献是一个形式化框架，公理化了Voevodsky动机范畴上的Chow权重结构与猜想性动机t-结构之间的关系，其中在1-动机、混合Hodge复形和混合Hodge模等非猜想性实现中具有明确的实现代数。

ABSTRACT

We study certain 'weights' for triangulated categories endowed with $t$-structures. Our results axiomatize and describe in detail the relations between the Chow weight structure (introduced in a preceding paper), the (conjectural) motivic t-structure for Voevodsky's motives, and the conjectural weight filtration for them. This picture becomes non-conjectural when restricted to the derived categories of 1-motives (over a smooth base) and of Artin-Tate motives over number fields; other examples include Beilinson's derived category of graded polarizable mixed Hodge complexes and Saito's derived category of mixed Hodge modules. We also study weight filtrations for the heart of $t$ and (the degeneration of) weight spectral sequences. In a subsequent paper we apply the results obtained in order to prove that (certain) 'standard' conjectures imply the existence of Beilinson's categories of mixed motivic sheaves endowed with weight filtrations.

研究动机与目标

• 在动机与Hodge理论的背景下，形式化三角范畴中权重结构与t-结构之间关系的理论。
• 通过引入权重结构与t-结构之间的横截性，为t-结构心上的权重过滤提供非猜想性框架。
• 建立权重谱序列退化的条件，从而实现上同调与t-结构心上权重过滤的构造。
• 将Voevodsky动机范畴上的Chow权重结构与猜想性动机t-结构以及Hodge理论中的经典权重过滤相联系。
• 通过t-结构与权重结构对偶性，将Beilinson混合动机层的存在性及其权重问题归约为标准动机猜想。

提出的方法

• 引入横截权重与t-结构的概念，并在三角范畴中定义其存在的等价条件。
• 利用强半正交生成系统（由半单纯阿贝尔子范畴构成）来刻画横截性，并构造权重过滤。
• 将理论应用于非猜想性例子：1-动机的导出范畴、数域上的Artin-Tate动机导出范畴、Saito的混合Hodge模导出范畴，以及分次极化混合Hodge复形的导出范畴。
• 分析权重谱序列及其退化性，证明横截性蕴含在E₂项退化。
• 利用保守精确函子检测权重谱序列的退化性，从而可通过实现代数验证退化性。
• 借助[B-VK10]与[Bon10a]的结果，在动机与Hodge理论设定中建立权重结构与t-结构之间精确的关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，三角范畴中一个权重结构会在t-结构心上诱导出权重过滤？
• RQ2 权重结构与t-结构之间的横截性在代数与范畴论上如何刻画？
• RQ3 在哪些非猜想性设定中，权重与t-结构之间的横截性成立，特别是在动机与Hodge理论范畴中？
• RQ4 权重谱序列的退化在多大程度上能推出t-结构心上存在权重过滤？
• RQ5 能否通过t-结构与权重结构对偶性，将Beilinson混合动机层的存在性及其权重问题归约为标准动机猜想？

主要发现

• 若权重结构w与t-结构t横截，则权重谱序列T在E₂项退化。
• 当w与t横截时，t-结构的心具有权重过滤，其分次为半单纯阿贝尔范畴A_i，且该过滤被态射严格保持。
• 对属于t-结构心的X，有X ∈ A_≤i当且仅当存在Y ∈ C^{w≤i}，使得存在满态射H(Y) → X。
• 在光滑基上1-动机的导出范畴，以及在数域上Artin-Tate动机的导出范畴中，存在与标准t-结构横截的权重结构。
• Saito的混合Hodge模导出范畴，以及Beilinson的D^b(H_p)（分次极化混合Hodge复形的导出范畴）也具有横截的权重与t-结构。
• 权重谱序列T的退化性可通过保守精确函子检测；特别地，只需在t-精确保守实现代数（如étale上同调）中验证退化性即可。