[论文解读] Well-posedness and numerical schemes for McKean-Vlasov equations and interacting particle systems with discontinuous drift.

Gunther Leobacher, Christoph Reisinger+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2020

Stochastic processes and financial applications参考文献 9被引用 6

一句话总结

本文在扩散系数和漂移-测度依赖结构的温和条件下，建立了带不连续漂移的一维 McKean-Vlasov SDE 及其相互作用粒子系统的适定性。文中提出了可实现的 Euler-Maruyama 格式并给出了强收敛结果，但由于漂移不连续性，标准的 1/2 收敛率未被达到。

ABSTRACT

In this paper, we first establish well-posedness results of McKean-Vlasov stochastic differential equations (SDEs) and related particle systems with a drift coefficient that is discontinuous in the spatial component. The analysis is restricted to the one-dimensional case, and we only require a fairly mild condition on the diffusion coefficient, namely to be non-zero in a point of discontinuity, while we need to impose certain structural assumptions on the measure-dependence of the drift. Second, we study fully implementable Euler-Maruyama-type schemes for the particle system to approximate the solution of the McKean-Vlasov SDEs. Here, we will prove strong convergence results in terms of number of time-steps and number of particles. Due to the discontinuity of the drift, the convergence analysis is non-standard and the usual $1/2$ strong convergence order known for the Lipschitz case cannot be recovered for all presented schemes.

研究动机与目标

• 研究一维带不连续漂移的 McKean-Vlasov SDE 的适定性。
• 分析逼近此类 McKean-Vlasov SDE 的相互作用粒子系统。
• 为粒子系统开发完全可实现的数值格式，并提供收敛性保证。
• 克服在收敛性分析中因漂移不连续性带来的挑战，该问题使得标准的 1/2 收敛率失效。
• 在非标准条件下，以时间步长和粒子数为变量，建立强收敛结果。

提出的方法

• 通过漂移的测度依赖结构假设，确保尽管存在不连续性，系统仍具有适定性。
• 要求在漂移不连续点处扩散系数非零，以维持正则性。
• 为粒子系统构造具有显式时间步长和基于粒子的漂移评估的 Euler-Maruyama 类格式。
• 应用针对不连续漂移量身定制的非标准收敛性分析技术，避免使用标准的 Lipschitz 假设。
• 利用耦合与矩估计，控制粒子系统与 McKean-Vlasov 极限之间的误差。
• 建立依赖于时间步长与粒子数之间相互作用的强收敛速率，尽管未达到经典的 1/2 阶。

实验结果

研究问题

• RQ1 在一维情形下，带不连续漂移的 McKean-Vlasov SDE 在何种条件下是适定的？
• RQ2 漂移对其解的分布的依赖结构如何影响适定性？
• RQ3 能否为粒子系统逼近构造出完全可实现的 Euler-Maruyama 格式？
• RQ4 这些格式的强收敛速率是多少，为何不同于经典的 1/2 阶？
• RQ5 时间步数与粒子数如何共同影响收敛误差？

主要发现

• 在扩散系数的温和条件和漂移-测度依赖的结构假设下，一维带不连续漂移的 McKean-Vlasov SDE 具有适定性。
• 为确保解的存在性，扩散系数必须在漂移不连续点处非零。
• 为粒子系统提出了完全可实现的 Euler-Maruyama 类格式，并提供了强收敛保证。
• 由于漂移不连续性，收敛速率严格低于经典的 1/2 阶，这使得标准分析技术失效。
• 收敛性在时间步数和粒子数两个维度上均被证明，误差界反映了两个参数的联合影响。
• 分析表明，漂移的不连续性从根本上改变了收敛格局，需要超越经典 SDE 理论的新型数学工具。