[论文解读] What properties of numbers are needed to model accelerated observers in relativity?

Gergely Székely|arXiv (Cornell University)|Sep 29, 2012

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 20被引用 4

一句话总结

本文研究在狭义相对论中使用一阶逻辑建模加速观察者时，数系所需的代数性质。研究表明，虽然实闭域足以描述一般加速观察者，但均匀加速观察者需要一个对指数函数封闭的数系——这使得适合的域类在有序域语言中不可公理化。关键结果是，实代数数域无法描述均匀加速，尽管它是实闭域。

ABSTRACT

We investigate the possible structures of numbers (as physical quantities) over which accelerated observers can be modeled in special relativity. We present a general axiomatic theory of accelerated observers which has a model over every real closed field. We also show that, if we would like to model certain accelerated observers, then not every real closed field is suitable, e.g., uniformly accelerated observers cannot be modeled over the field of real algebraic numbers. Consequently, the class of fields over which uniform acceleration can be investigated is not axiomatizable in the language of ordered fields.

研究动机与目标

• 确定建模狭义相对论中加速观察者所需的数系的最小代数性质。
• 研究实代数数域是否能支持均匀加速观察者。
• 考察适合建模均匀加速的数域类在逻辑上的公理化可能性。
• 阐明一阶逻辑与有序域公理在基础物理理论中的作用。
• 确立在相对论框架中建模均匀加速运动时，指数封闭的必要性。

提出的方法

• 在包含物体和数量的二元语言中，形式化一个一阶公理化理论 $\mathsf{AccRel_d}$，用于加速观察者。
• 利用 $\mathsf{AccRel_d}$ 的公理，证明任何实闭域均支持加速观察者的模型。
• 引入一个附加公理 $\mathsf{Ax\exists UnifOb}$，断言均匀加速观察者的存在。
• 运用模型论推理，表明 $\mathsf{AccRel_d} + \mathsf{Ax\exists UnifOb}$ 的模型无法在实代数数域上存在。
• 利用指数函数在稠密子域上的唯一性，证明 $\exp$ 限制在实代数数上在该理论中不可定义。
• 使用 Pickert–Hion 定理刻画 $\mathbb{R}$ 的子域为阿基米德有序域，并表明仅对 $\exp$ 封闭的域才能支持所需的可微函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些数系的性质是建模狭义相对论中加速观察者所必需的？
• RQ2 能否在实代数数域上建模均匀加速观察者？
• RQ3 支持均匀加速观察者的域类是否可在有序域的一阶语言中公理化？
• RQ4 指数函数在均匀加速运动可定义性中起什么作用？
• RQ5 数系的选择如何影响相对论理论在逻辑与物理上的一致性？

主要发现

• 理论 $\mathsf{AccRel_d}$ 在每个实闭域上都有模型，包括实代数数域。
• 如 $\mathsf{Ax\exists UnifOb}$ 所形式化的均匀加速观察者存在，意味着数域必须支持指数函数。
• 实代数数域无法支持均匀加速观察者，因为欧拉常数 $e = \exp(1)$ 是超越数，因此不在该域中。
• 可支持均匀加速观察者的域类在有序域的一阶语言中不可公理化。
• 在子域 $\mathit{Q} \subseteq \mathbb{R}$ 上满足 $f' = f$ 且 $f(0) = 1$ 的可微函数 $f$ 必须是实指数函数在 $\mathit{Q}$ 上的限制，而当 $\mathit{Q}$ 为实代数数域时，该条件不成立。
• 不可公理化结果源于：在有序域的一阶语言中，没有任何句子能捕捉均匀加速所要求的指数封闭性。