[论文解读] Worst-Case Results For Positive Semidefinite Rank

João Gouveia, Richard Z. Robinson+1 more|arXiv (Cornell University)|May 20, 2013

graph theory and CDMA systems参考文献 17被引用 6

一句话总结

该论文为非负矩阵（特别是多面体的松弛矩阵）的正定秩（psd rank）建立了新的最坏情况界。证明了具有 $v$ 个顶点的 $n$-维通用多面体的 psd 秩至少为 $(nv)^{1/4}$，而对于多边形，psd 秩至多为 $4\lceil v/6 \rceil$，并给出了在秩固定时判断 psd 秩的多项式时间算法。

ABSTRACT

This paper presents various worst-case results on the positive semidefinite (psd) rank of a nonnegative matrix, primarily in the context of polytopes. We prove that the psd rank of a generic n-dimensional polytope with v vertices is at least (nv)^(1/4) improving on previous lower bounds. For polygons with v vertices, we show that psd rank cannot exceed 4ceil(v/6) which in turn shows that the psd rank of a p by q matrix of rank three is at most 4ceil(min{p,q}/6). In general, a nonnegative matrix of rank (k+1 choose 2) has psd rank at least k and we pose the problem of deciding whether the psd rank is exactly k. Using geometry and bounds on quantifier elimination, we show that this decision can be made in polynomial time when k is fixed.

研究动机与目标

• 为非负矩阵（尤其是多面体的松弛矩阵）的正定秩（psd rank）建立紧致的最坏情况下界。
• 在多面体的维数 $n$ 与顶点数 $v$ 的角度下，改进现有的 psd 秩下界。
• 为多边形及低秩矩阵（特别是秩为 $\binom{k+1}{2}$ 的矩阵）推导上界。
• 为固定 $k$ 时判断矩阵的 psd 秩是否恰好为 $k$，开发一个多项式时间算法。
• 通过半定锥表示与量词消去，将 psd 秩与几何及半代数可行性问题联系起来。

提出的方法

• 使用维数计数与几何论证，推导出具有 $v$ 个顶点的通用 $n$-维多面体的 psd 秩下界为 $(nv)^{1/4}$。
• 应用基于支撑的论证与组合界，证明具有 $v$ 个顶点的多边形的 psd 秩至多为 $4\lceil v/6 \rceil$。
• 将判断 psd 秩 $k$ 的问题转化为对称矩阵空间中线性矩阵不等式（LMIs）的半代数可行性问题。
• 通过对称矩阵空间之间的线性映射 $\pi$ 表示 psd 分解，并利用初等对称矩阵基将问题编码为 $\mathbb{R}^{d}$ 中的问题，其中 $d = \binom{k+1}{2}$。
• 将几何条件 $P \subseteq \pi(\mathcal{S}_+^k) \subseteq Q$ 转化为关于 $L$ 与 $K = L^{-1}$ 的 $k \times k$ 线性矩阵不等式组，确保 $Ku_i$ 与 $v_j^T L$ 的正定性。
• 应用 Renegar 关于实数上量词消去的复杂度结果，表明当 $d = \binom{k+1}{2}$ 固定时，psd 秩判定可在时间 $(pq)^{O(d^{2.5})}$ 内求解，即在 $pq$ 上为多项式时间。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有 $v$ 个顶点的通用 $n$-维多面体的 psd 秩的最坏情况下界是多少？
• RQ2 能否为具有 $v$ 个顶点的多边形的 psd 秩建立紧致上界？
• RQ3 对于秩为 $\binom{k+1}{2}$ 的非负矩阵，其 psd 秩是否恰好为 $k$？
• RQ4 当 $k$ 固定时，能否在多项式时间内判断矩阵的 psd 秩是否为 $k$？
• RQ5 如何通过半定锥表示将 psd 秩问题约化为半代数可行性问题？

主要发现

• 具有 $v$ 个顶点的通用 $n$-维多面体的 psd 秩至少为 $(nv)^{1/4}$，显著优于先前的下界。
• 具有 $v$ 个顶点的多边形的 psd 秩至多为 $4\lceil v/6 \rceil$，这意味着秩为三的 $p \times q$ 矩阵的 psd 秩至多为 $4\lceil \min\{p,q\}/6 \rceil$。
• 秩为 $\binom{k+1}{2}$ 的非负矩阵的 psd 秩至少为 $k$，本文提出问题：其 psd 秩是否恰好为 $k$？
• 当 $k$ 固定时，可通过实数上量词消去在多项式时间内判断矩阵的 psd 秩是否为 $k$。
• psd 秩判定问题被约化为包含 $O(d^2)$ 个变量与 $O(d^2)$ 个次数不超过 $k$ 的多项式不等式的半代数系统，求解时间复杂度为 $(pq)^{O(d^{2.5})}$，其中 $d = \binom{k+1}{2}$。
• 该结果为 Moitra 的非负矩阵分解算法提供了 psd 类比，表明当秩固定时，psd 秩问题是可解的。