[论文解读] Wrapped microlocal sheaves on pairs of pants

David Nadler|arXiv (Cornell University)|Apr 1, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 22被引用 49

一句话总结

本文引入了包裹式微局部层作为包裹式 Fukaya 族类的微局部类比，通过矩阵因子化，建立了高维裤形空间上包裹式微局部层与相应 Landau-Ginzburg B 模型之间的等价性。该构造将镜像对称结果推广至非紧致、高维情形，并在微局部框架中确认了无穷小与包裹式族类之间的对偶性。

ABSTRACT

Inspired by the geometry of wrapped Fukaya categories, we introduce the notion of wrapped microlocal sheaves. We show that traditional microlocal sheaves are equivalent to functionals on wrapped microlocal sheaves, in analogy with the expected relation of infinitesimal to wrapped Fukaya categories. As an application, we calculate wrapped microlocal sheaves on higher-dimensional pairs of pants, confirming expectations from mirror symmetry.

研究动机与目标

• 定义包裹式微局部层作为包裹式 Fukaya 族类在微局部设定下的对应物。
• 为高维裤形空间建立同调镜像对称等价性。
• 验证传统微局部层与包裹式微局部层的等价性，镜像反映 Fukaya 族类中无穷小-包裹式对偶性。
• 通过微局部层理论，将现有的镜像对称结果从紧致情形推广至非紧致、高维情形。

提出的方法

• 本文通过双曲限制与微局部化函子，在余切丛的锥形开子空间上构造了包裹式微局部层。
• 采用拉格朗日子空间上的 dg 族类余层，其局部结构在光滑点处等价于完美 $k$-模。
• 通过分层粘合与下降技术，将该理论应用于精确辛曲面与高维裤形空间。
• 关键技术工具是双曲限制函子 $\eta_I$，它将 $T^{n+1}$ 上的层与 $T^I$ 上的层关联起来，并证明其与微局部化可交换。
• 通过函子的复合与 dg 族类的折叠，建立了等价式 $\mu\mathit{Sh}^w_{\Lambda_{n+1}}(\Omega_{n+1})_{\mathbb{Z}/2} \simeq \operatorname{MF}(\mathbb{A}^{n+2}, W_{n+2})$。
• 该构造依赖于使用 $\mathit{Sh}^\diamondsuit$ 与 $\mu\mathit{Sh}^\diamondsuit$ 的函子框架，且在指标集包含关系下具有自然相容性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何以一种镜像反映包裹式 Fukaya 族类在微局部设定中结构的方式定义包裹式微局部层？
• RQ2 传统微局部层与包裹式微局部层之间的确切关系是什么？它是否镜像了 Fukaya 族类中无穷小-包裹式对偶性？
• RQ3 能否通过微局部层将裤形空间的同调镜像对称等价性推广至高维、非紧致情形？
• RQ4 是否存在高维裤形空间上包裹式微局部层与 Landau-Ginzburg B 模型的矩阵因子化之间的典范等价性？
• RQ5 双曲限制函子与微局部化在包裹式微局部层构造中如何相互作用？

主要发现

• 高维裤形空间上的包裹式微局部层与 $\mathbb{A}^{n+2}$ 上超势能 $W_{n+2}$ 的 Landau-Ginzburg B 模型（通过矩阵因子化给出）等价。
• 通过函子复合与 dg 族类折叠，建立了等价式 $\mu\mathit{Sh}^w_{\Lambda_{n+1}}(\Omega_{n+1})_{\mathbb{Z}/2} \simeq \operatorname{MF}(\mathbb{A}^{n+2}, W_{n+2})$。
• 证明了传统微局部层与包裹式微局部层上的泛函等价，确认了无穷小与包裹式族类之间预期的对偶性。
• 双曲限制函子 $\eta_I$ 在 $T^{n+1}$ 与 $T^I$ 上的层之间提供了自然的桥梁，其与微局部化的复合产生等价性。
• 该理论在带 puncture 的球面上得到验证，恢复了文献 [2] 中已知的镜像对称结果，且在微局部框架中成立。
• 包裹式微局部层余层 $\mu\mathit{Sh}^w_\Lambda$ 在支撑拉格朗日子空间 $\Lambda$ 的分层上为局部常数，其截面等价于完美 $k$-模。