[论文解读] Yang-Baxter algebras as convolution algebras: The Grassmannian case

Vassily Gorbounov, Christian Korff+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2018

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 35被引用 5

一句话总结

本文在格拉斯曼流形的等变上同调中，通过卷积代数建立了杨- Baxter代数的几何实现，表明来自施伯特微积分的R-矩阵满足杨- Baxter方程。关键结果是这些代数作为当前代数 $\tau\mathfrak{gl}_2[t]$ 的商代数出现，其在 $\mathbb{C}^2[t]$-表示的张量积上的作用通过典范丛的陈类显式给出。

ABSTRACT

We present a simple but explicit example of a recent development which connects quantum integrable models with Schubert calculus: there is a purely geometric construction of solutions to the Yang-Baxter equation and their associated Yang-Baxter algebras which play a central role in quantum integrable systems and exactly solvable lattice models in statistical physics. We consider the degenerate five-vertex limit of the asymmetric six-vertex model and identify its associated Yang-Baxter algebra as convolution algebra arising from the equivariant Schubert calculus of Grassmannians. We show how our method can be used to construct (Schur algebra type) quotients of the current algebra $\mathfrak{gl}_2[t]$ acting on the tensor product of copies of its evaluation representation $\mathbb{C}^2[t]$. Finally we connect it with the COHA for the $A_1$-quiver.

研究动机与目标

• 通过格拉斯曼流形的等变上同调中的卷积代数，建立杨- Baxter代数的几何构造。
• 通过施伯特基与环固定点基之间的过渡矩阵，证明来自施伯特微积分的R-矩阵满足杨- Baxter方程。
• 将退化的五顶点模型实现为作用于 $\mathbb{C}^2[t]$-表示张量积的当前代数 $\mathfrak{gl}_2[t]$ 的商代数。
• 将几何杨- Baxter代数与 $A_1$-箭头的COHA（上同调霍尔代数）联系起来。
• 通过典范丛陈类的比值，提供生成元在固定点基向量上的作用的显式公式。

提出的方法

• 将R-矩阵构造为 $H^*_T(\mathrm{Gr}(k,N))$ 中施伯特基与环固定点基之间的过渡矩阵。
• 使用 $\mathrm{RTT} = \mathrm{TTR}$ 构造，从R-矩阵生成两个同构的杨- Baxter代数。
• 通过旗流形上的前推-拉回操作，将代数实现为格拉斯曼流形上卷积代数的子代数。
• 将 $\gamma_j^\pm$ 算子的作用识别为典范丛陈类的乘法与关联流形上前推的组合。
• 应用投影公式与恰当基变换，验证上同调中的杨- Baxter代数关系。
• 通过证明生成元通过 $\mathfrak{gl}_2[t]$-表示作用，建立几何杨- Baxter代数与 $A_1$-箭头COHA之间的联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过卷积代数，利用格拉斯曼流形施伯特微积分中的R-矩阵构造杨- Baxter代数？
• RQ2 在几何设定下，退化的五顶点模型与当前代数 $\mathfrak{gl}_2[t]$ 有何关系？
• RQ3 杨- Baxter代数生成元在格拉斯曼流形的等变上同调上的显式作用是什么？
• RQ4 通过典范丛与商丛陈类构造的两个同构杨- Baxter代数在几何上如何关联？
• RQ5 能否通过表示论作用将几何构造与 $A_1$-箭头COHA联系起来？

主要发现

• 从 $H^*_T(\mathrm{Gr}(k,N))$ 中施伯特基与环固定点基之间的过渡中产生的R-矩阵满足杨- Baxter方程。
• 几何杨- Baxter代数被实现为格拉斯曼流形上卷积代数的子代数，其显式生成元 $\gamma_j^\pm$ 通过关联流形上的前推-拉回作用。
• $\gamma_j^\pm$ 在固定点基上的作用由等变参数 $t_i$ 的有理函数给出，其显式公式涉及 $t_i^j / (t_i - t_r)$ 的乘积。
• $\gamma_j^\pm$ 生成元因源于陈类与前推构造，故属于杨- Baxter代数 $\mathcal{YB}_N$。
• 该几何作用可提升至等变设定，保持算子的 $S_N$-等变性。
• $\mathfrak{gl}_2[t]$ 生成元 $a_{21} \otimes t^k$ 与 $a_{12} \otimes t^k$ 在 $\mathbb{C}^2[t]^{igotimes N}$ 上的作用通过几何杨- Baxter代数实现，从而确立了商结构。