[論文レビュー] (1,1) forms with specified Lagrangian phase: A priori estimates and algebraic obstructions

Tristan C. Collins, Adam Jacob+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 8, 2015

Geometry and complex manifolds参考文献 36被引用数 50

ひとこと要約

本稿は、コンpact Kähler多様体上で、ラグランジュ位相 $h(x)$ が $|h| > (n-2)\frac{\pi}{2}$ を満たし、部分解が存在する場合に、変形されたヘルミート・ヤン・ミルズ（dHYM）方程式に対して事前に $C^{2,\beta}$ 評価を確立する。連続性法を用いて、これらの条件下で超臨界位相の場合に滑らかな解の存在を証明し、解の存在に対する付加的コhomological障害を特定。複素曲面の場合の予想が確認された。

ABSTRACT

Let $(X,α)$ be a Kähler manifold of dimension n, and let $[ω] \in H^{1,1}(X,\mathbb{R})$. We study the problem of specifying the Lagrangian phase of $ω$ with respect to $α$, which is described by the nonlinear elliptic equation \[ \sum_{i=1}^{n} \arctan(λ_i)= h(x) \] where $λ_i$ are the eigenvalues of $ω$ with respect to $α$. When $h(x)$ is a topological constant, this equation corresponds to the deformed Hermitian-Yang-Mills (dHYM) equation, and is related by Mirror Symmetry to the existence of special Lagrangian submanifolds of the mirror. We introduce a notion of subsolution for this equation, and prove a priori $C^{2,β}$ estimates when $|h|>(n-2)\fracπ{2}$ and a subsolution exists. Using the method of continuity we show that the dHYM equation admits a smooth solution in the supercritical phase case, whenever a subsolution exists. Finally, we discover some stability-type cohomological obstructions to the existence of solutions to the dHYM equation and we conjecture that when these obstructions vanish the dHYM equation admits a solution. We confirm this conjecture for complex surfaces.

研究の動機と目的

• コンパクトKähler多様体上で、ラグランジュ位相 $h(x)$ が与えられた方程式 $\sum_{i=1}^n \arctan(\lambda_i) = h(x)$ に対して、事前に $C^{2,\beta}$ 評価を確立すること。
• 部分解が存在する場合に、変形されたヘルミート・ヤン・ミルズ（dHYM）方程式の滑らかな解の存在を、超臨界位相領域で証明すること。
• dHYM方程式の解の存在に対するコhomological障害を同定し、その消失が解の存在を十分に示すと予想すること。
• 複素曲面の場合に、dHYM方程式の予想された安定性条件を確認すること。
• 非凹型ヘッセ型方程式に対する部分解の枠組みを、複素幾何学において一般化し、$J$-方程式に関する先行結果を拡張すること。

提案手法

• dHYM方程式に対して、Székelyhidiの部分解概念を非凹型作用素へ一般化した $\mathcal{C}$-部分解の概念を導入すること。
• 曲率およびラプラシアン比較技術を巧みに用いて、$|h| > (n-2)\frac{\pi}{2}$ かつ部分解が存在する条件下で、$C^{2,\beta}$ 事前評価を証明すること。
• dHYM方程式に連続性法を適用し、事前評価を活用して、超臨界位相の場合に滑らかな解を構成すること。
• 部分多様体に関連する $(n-1,n-1)$-形式の正定性を用いて、$J$-方程式の枠組みを通じてdHYM解の存在に対するコhomological障害を導出すること。
• Calabi予想およびDemailly-Păunの基準を用いて、クラス $[\cot(\Theta_X)\alpha + \omega]$ のKähler正定性を特徴づけ、解の存在と関連付けること。
• 曲線 $C \subset X$ に対して不等式 $\Theta_C > \Theta_X - \frac{\pi}{2}$ を分析することにより、複素曲面における予想された安定性条件を検証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ラグランジュ位相 $h(x)$ が定数でない場合、dHYM方程式が滑らかな解をもつための条件は何か？
• RQ2 作用素の凹性が欠如する状況下でも、dHYM方程式に対して事前 $C^{2,\beta}$ 評価を確立できるか？
• RQ3 dHYM方程式の解の存在を妨げるコhomological障害は何か？そしてそれらは十分条件となるか？
• RQ4 複素曲面において、dHYM方程式の予想された安定性条件は解の存在と同値か？
• RQ5 $k \to \infty$ の極限において、dHYM方程式の振る舞いは$J$-方程式および部分解理論とどのように関係するか？

主な発見

• 条件 $|h| > (n-2)\frac{\pi}{2}$ かつ $\mathcal{C}$-部分解が存在する場合、dHYM方程式に対して事前 $C^{2,\beta}$ 評価が確立された。
• 連続性法により、部分解が存在する限り、超臨界位相の場合にdHYM方程式の滑らかな解が得られた。
• 部分多様体に関連する $(n-1,n-1)$-形式の正定性を用いて、dHYM解の存在に対するコhomological障害が同定された。
• dHYM解の存在に関する予想された安定性条件が、複素曲面において正当化された。
• 複素曲面において、dHYM方程式の解が存在するための必要十分条件は、任意の曲線 $C \subset X$ に対して $\Theta_C > \Theta_X - \frac{\pi}{2}$ が成り立つことである。
• 本稿では、dHYM方程式の亜臨界位相領域において、解析的に悪く振る舞う可能性があることが示された。$C^{1,\beta}$ 解に対しても $C^2$ 正則性が失われる可能性がある。