[論文レビュー] 1-bend Upward Planar Drawings of SP-digraphs

Emilio Di Giacomo, Giuseppe Liotta+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2016

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、最大次数Δをもつ系列並列有向グラフ（SP-有向グラフ）の1曲がり上向き平面図を、正確にΔ種類の異なる傾きで構成する線形時間のアルゴリズムを提示する。この手法は、頂点を十字型に表現する接触表現を用い、それを傾き最適化された上向き図に変換することで、最悪ケースで最適な角分解能π/Δを達成する。また、SP-有向グラフにおいてΔ種類の傾きが必要かつ十分であることを証明する。

ABSTRACT

It is proved that every series-parallel digraph whose maximum vertex-degree is $Δ$ admits an upward planar drawing with at most one bend per edge such that each edge segment has one of $Δ$ distinct slopes. This is shown to be worst-case optimal in terms of the number of slopes. Furthermore, our construction gives rise to drawings with optimal angular resolution $\fracπΔ$. A variant of the proof technique is used to show that (non-directed) reduced series-parallel graphs and flat series-parallel graphs have a (non-upward) one-bend planar drawing with $\lceil\fracΔ{2} ceil$ distinct slopes if biconnected, and with $\lceil\fracΔ{2} ceil+1$ distinct slopes if connected.

研究の動機と目的

• SP-有向グラフの1曲がり上向き平面図に必要な最小の異なる傾きの数を特定すること。
• SP-有向グラフおよび関連する無向グラフクラスの1曲がり上向き平面図の傾き数のタイトな境界を確立すること。
• SP-有向グラフの上向き平面図において、最適な角分解能と傾き使用率を達成する線形時間のアルゴリズムを開発すること。
• 結果を無向の縮約済みおよびフラットなSP-グラフに拡張し、2連結グラフでは⌈Δ/2⌉種類の傾きで十分であることを示すこと。

提案手法

• SP-有向グラフの各頂点を、適切に間隔をあけた接触表現における十字（水平および垂直線分の交差）として表現する。
• 各辺の線分に集合𝒮Δ = {π/2 + iπ/Δ | i = 0, ..., Δ−1} からの傾きを割り当て、各辺が高々1つの曲がりを持つようにする。
• 各十字を、𝒮Δからの傾きを用いて接触部分を2つの線分に置き換える多角形線図に変換し、上向き性と平面性を保つ。
• 各十字の安全領域性質を活用して、曲がりが互いに重複しない領域にのみ発生することを保証し、辺の交差を回避する。
• 一般のSP-有向グラフにおける推移的辺を処理するため、頂点を分割し、後に分割頂点を削除して元の構造を回復する。
• 無向グラフにおける対称性と傾きの再利用を活用し、2連結な縮約済みまたはフラットなSP-グラフでは、必要な傾きの数を⌈Δ/2⌉にまで削減できる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最大次数ΔをもつSP-有向グラフの1曲がり上向き平面図の傾き数は何か？
• RQ2 SP-有向グラフの1曲がり上向き平面図においてΔが最悪ケースで最適な傾き数であるか？
• RQ3 無向SP-グラフの1曲がり平面図の傾き数は、既知の上界3/2(Δ−1)未満にまで低下させられるか？
• RQ4 2連結な縮約済みまたはフラットなSP-グラフの1曲がり平面図に必要な最小の傾き数は何か？
• RQ5 傾きの上限をSP-グラフを超える一般の部分2木にまで拡張できるか？

主な発見

• 最大次数Δをもつ任意のSP-有向グラフは、正確にΔ種類の異なる傾きを用いた1曲がり上向き平面図を有し、この上限は最悪ケースで最適である。
• 構成された図は角分解能が少なくともπ/Δ以上であり、これも最悪ケースで最適である。
• アルゴリズムはO(n)時間で実行され、大規模なSP-有向グラフに対しても効率的である。
• 2連結な縮約済みまたはフラットなSP-グラフでは、1曲がり平面図の傾き数は⌈Δ/2⌉以下であり、角分解能は少なくとも2π/Δ以上である。
• 連結な縮約済みまたはフラットなSP-グラフでは、1曲がり平面図の傾き数は⌈Δ/2⌉ + 1以下であり、角分解能は少なくとも2π/(Δ+1)以上である。
• Δ種類の傾きが任意の1曲がり上向き平面図で必要であることを示すSP-有向グラフの族を構成し、上界のタイトさを証明した。