[論文レビュー] 1D area law with ground-state degeneracy

Yichen Huang|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2014

Quantum many-body systems被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、簡約状態が degenerate な一次元ギャップのある量子系におけるRényi 擬似エントロピーの1次元面積則を確立する。0 < α < 1 におけるRényi エントロピーは Õ(α⁻³/ε) で有界であることが証明され、任意の基底状態は 2^{Õ(ε⁻¹/⁴ log³⁴ n)} の部分多項式的結合次元を持つ行列積状態により近似可能であり、面積則が簡約状態に拡張される。

ABSTRACT

An area law is proved for the Renyi entanglement entropy of possibly degenerate ground states in one-dimensional gapped quantum systems. Suppose in a chain of $n$ spins the ground states of a local Hamiltonian with energy gap $\epsilon$ are constant-fold degenerate. Then, the Renyi entanglement entropy $R_\alpha(0<\alpha<1)$ of any ground state across any cut is upper bounded by $ ilde O(\alpha^{-3}/\epsilon)$, and any ground state can be well approximated by a matrix product state of subpolynomial bond dimension $2^{ ilde O(\epsilon^{-1/4}\log^{3/4}n)}$.

研究の動機と目的

• 簡約状態が存在する一次元ギャップのある量子系におけるRényi 擬似エントロピーの面積則を確立すること。
• スペクトルギャップ ε を持つ局所ハミルトニアン下での簡約状態のエンタングルメントスケーリングを定量化すること。
• このような基底状態が部分多項式的結合次元を持つ行列積状態（MPS）により効率的に近似可能であることを示すこと。

提案手法

• 0 < α < 1 における1次元スピン鎖の任意のカットにおけるRényi 擬似エントロピー Rα の上界を証明する。
• 局所ハミルトニアンのスペクトルギャップ ε を用いて、上界が ε および α に依存する関係を導出する。
• 基底状態の簡約性を扱うために、量子情報理論および多体理論の技術を適用する。
• 任意の基底状態の行列積状態（MPS）近似に必要な結合次元の部分多項式的上界を導出する。
• 混合状態や簡約状態の基底状態におけるエンタングルメントの尺度としてRényi エントロピーを用いる。
• 局所ハミルトニアンの構造とギャップ依存の上界を用いて、エンタングルメントスケーリングを制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 簡約状態が存在する一次元ギャップ系におけるRényi 擬似エントロピーに面積則が成立するか？
• RQ2 このような系において、エンタングルメントエントロピーはスペクトルギャップ ε およびRényi パラメータ α にどのように依存するか？
• RQ3 簡約状態は、結合次元が有界な行列積状態により効率的に表現可能か？
• RQ4 与えられた誤差内での任意の基底状態の近似に必要な結合次元の最適スケーリングは何か？
• RQ5 基底状態の簡約性は、一次元ギャップ系におけるエンタングルメント構造にどのように影響するか？

主な発見

• 0 < α < 1 におけるRényi 擬似エントロピー Rα は、1次元鎖の任意のカットにおいて Õ(α⁻³/ε) で有界である。
• この上界は系のサイズ n に依存せず、α およびスペクトルギャップ ε のみに依存する。
• 任意の基底状態は結合次元 2^{Õ(ε⁻¹/⁴ log³⁴ n)} の行列積状態により近似可能である。
• 結合次元のスケーリングは n に対して部分多項式的であり、効率的な近似可能性を示している。
• 本結果により、定数倍の基底状態簡約性を持つ系に対しても面積則が拡張される。
• 解析は、非ゼロのスペクトルギャップ ε > 0 を持つ任意の局所ハミルトニアンに対して成り立つ。