[論文レビュー] Area law in one dimension: Renyi entropy and degenerate ground states

Yichen Huang|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2014

Quantum many-body systems被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、簡約状態が degenerate な一次元ギャップあり量子系におけるRényi量子もつれエントロピーの面積則を確立する。$ 0 < \alpha < 1 $ におけるRényiエントロピー $ R_\alpha $ は、上界 $ \tilde{O}(\alpha^{-3}/\epsilon) $ で抑えられ、任意の基底状態は、$ 2^{\tilde{O}(\epsilon^{-1/4} \log^{3/4} n)} $ の部分多項式的結合次元をもつ行列積状態により近似可能である。これはもつれ構造とスペクトルギャップの関係を示している。

ABSTRACT

An area law is proved for the Renyi entanglement entropy of possibly degenerate ground states in one-dimensional gapped quantum systems. Suppose in a chain of $n$ spins the ground states of a local Hamiltonian with energy gap $\epsilon$ are constant-fold degenerate. Then, the Renyi entanglement entropy $R_\alpha(0<\alpha<1)$ of any ground state across any cut is upper bounded by $ ilde O(\alpha^{-3}/\epsilon)$, and any ground state can be well approximated by a matrix product state of subpolynomial bond dimension $2^{ ilde O(\epsilon^{-1/4}\log^{3/4}n)}$.

研究の動機と目的

• 一次元の基底状態が degenerate な量子系におけるRényiもつれエントロピーの面積則を確立すること。
• ギャップがある系における基底状態のもつれスケーリングを、特に簡約状態が存在する場合に定量化すること。
• このような基底状態が部分多項式的結合次元をもつ行列積状態により効率的に近似可能であることを示すこと。
• スペクトルギャップ $ \epsilon $ をもつれ性質および基底状態の近似可能性と結びつけること。

提案手法

• 局所ハミルトニアンをもつ $ n $ 個のスピンの鎖における $ 0 < \alpha < 1 $ のRényiもつれエントロピー $ R_\alpha $ を分析する。
• スペクトルギャップ $ \epsilon $ を主要パラメータとして、任意のカットにおけるもつれエントロピーの上限を導出する。
• 量子情報理論および多体理論の技術を用いて、ギャップと系サイズを用いてRényiエントロピーの上限を導出する。
• 行列積状態（MPS）表現を用いて、基底状態が部分多項式的結合次元で近似可能であることを示す。
• Rényiエントロピーの上限 $ \tilde{O}(\alpha^{-3}/\epsilon) $ を導出し、$ \alpha $ および $ \epsilon $ 依存性を反映する。
• 近似に必要な結合次元が $ 2^{\tilde{O}(\epsilon^{-1/4} \log^{3/4} n)} $ であることを確立し、これは $ n $ に対して部分多項式的である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一次元ギャップあり系で基底状態が degenerate な場合、Rényiもつれエントロピーに対して面積則が成立するか？
• RQ2 スペクトルギャップ $ \epsilon $ は基底状態のもつれエントロピーにどのように影響するか？
• RQ3 一次元ギャップあり系における簡約状態は、行列積状態により効率的に近似可能か？
• RQ4 もつれ上限の $ \alpha $ および $ \epsilon $ への依存性は何か？
• RQ5 高い精度でこのような基底状態を近似するための最小結合次元は何か？

主な発見

• Rényiもつれエントロピー $ R_\alpha $（$ 0 < \alpha < 1 $）は、上界 $ \tilde{O}(\alpha^{-3}/\epsilon) $ で抑えられ、ギャップ依存の面積則を示している。
• もつれエントロピーの上限はスペクトルギャップ $ \epsilon $ に反比例し、ギャップが大きいほどもつれが抑制されることを示している。
• 系内の任意の基底状態は、結合次元 $ 2^{\tilde{O}(\epsilon^{-1/4} \log^{3/4} n)} $ をもつ行列積状態により近似可能であり、これは $ n $ に対して部分多項式的である。
• 近似誤差は小さく、簡約基底状態のもつれ構造が効率的に表現可能であることを示している。
• 簡約状態の次数が定数である限り、結果はその度合いに依存しない。
• 分析により、もつれスケーリングがギャップおよびRényiパラメータによって制御されること、特に簡約状態が存在する場合でも同様に成り立つことが確認された。