[論文レビュー] 2D reductions of the equation $u_{yy} = u_{tx} + u_yu_{xx} - u_xu_{xy}$ and their nonlocal symmetries

Pavel Holba, I. S. Krasil’shchik+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 24, 2017

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、3次元偏微分方程式 $u_{yy} = u_{tx} + u_y u_{xx} - u_x u_{xy}$ の2次元還元、特にギブスン＝ツァレフ方程式とそれに関連する別の方程式を研究する。元の方程式のラクス対を用いて、被覆空間における非局所対称性を構成し、これらの対称性のリー代数がウィット代数に同型であることを証明する。これにより、非線形偏微分方程式に深いつながりを持つ可積分構造が明らかになる。

ABSTRACT

We consider the 3D equation $u_{yy} = u_{tx} + u_yu_{xx} - u_xu_{xy}$ and its 2D reductions: (1) $u_{yy} = (u_y+y)u_{xx}-u_xu_{xy}-2$ (which is equivalent to the Gibbons-Tsarev equation) and (2) $u_{yy} = (u_y+2x)u_{xx} + (y-u_x)u_{xy} -u_x$. Using reduction of the known Lax pair for the 3D equation, we describe nonlocal symmetries of~(1) and~(2) and show that the Lie algebras of these symmetries are isomorphic to the Witt algebra.

研究の動機と目的

• 3次元可積分PDE $u_{yy} = u_{tx} + u_y u_{xx} - u_x u_{xy}$ の2次元対称性還元を分析すること。
• ギブスン＝ツァレフ方程式と関連する方程式の2つの非線形化不能還元における非局所対称性の特定および分類すること。
• 元の方程式のラクス対を用いて、非局所対称性代数の代数的構造を確立すること。
• 2つの還元方程式における非局所対称性のリー代数がウィット代数に同型であることを示すこと。

提案手法

• 3次元方程式のラクス対を還元し、2次元還元における被覆構造を導出すること。
• 局所対称性を無限次元被覆空間に持ち上げることで非局所対称性を構成すること。
• 被覆における非局所変数をパrameter化するための生成関数 $R = \sum_{i=1}^\infty \lambda^i r_i$ の使用。
• 非局所変数 $\sigma^p$ における対称性成分 $\gamma_{-2}, \gamma_{-1}, \gamma_2$ の明示的計算およびその持ち上げ。
• 対称性の交換関係の検証により、ウィット代数への同型を確認すること。
• 対称性成分を表す再帰的公式の使用、ここで $r_i^p$, $P_{j,k}^{(1)}$, および $p$ の線形形式の積が関与する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元PDE $u_{yy} = u_{tx} + u_y u_{xx} - u_x u_{xy}$ の2次元還元における非局所対称性代数の構造は何か？
• RQ2 3次元方程式のラクス対は、還元された2次元方程式における非局所対称性をどのように構成できるか？
• RQ3 2つの2次元還元における非局所対称性代数は、既知の無限次元リー代数に同型か？
• RQ4 パrameter $p$ は被覆 $\sigma^p$ において果たす役割は何か？また、対称性構造にどのように影響するか？

主な発見

• ギブスン＝ツァレフ方程式（還元1）の非局所対称性は、ウィット代数 $\mathfrak{W}$ に同型であるリー代数をなす。
• 2番目の2次元還元（方程式3）の非局所対称性も、ウィット代数 $\mathfrak{W}$ に同型であるリー代数をなす。
• 被覆 $\sigma^p$ における非局所対称性 $\Gamma_{-2}, \Gamma_{-1}, \Gamma_2$ の明示的公式が導出され、非局所変数 $r_i^p$ の無限級数を含む。
• 重み2の対称性 $\gamma_2$ が明示的に構成され、$p$, $x$, $y$, $u$, $u_x$, $u_y$, および非局所変数に依存する係数を有する。
• パrameter $p=2$ のとき、被覆 $\sigma^2$ はギブスン＝ツァレフ方程式の既知の被覆と同値な系を生成し、先行研究と整合性を確認する。
• リー代数の構造が両還元において保存されており、親3次元方程式のラクス対に起因する普遍的な対称性メカニズムが示唆される。