[論文レビュー] 2D Toda au-functions as combinatorial generating functions

Mathieu Guay-Paquet, J. Harnad|arXiv (Cornell University)|May 24, 2014

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 38被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、対称群 $S_n$ のカイリー群における経路数の生成関数として、2次元 Toda tau 関数の組合せ的解釈を、ジュシス＝マーフィー作用素による群代数作用とフェルミオン的 Fock 空間の頂点演算子構成という二つの同等な枠組みを用いて確立する。主な結果として、二重シュール関数展開における係数が、多単調経路を数えるものであることが特定され、特徴写像とフェルミオン化同型を基盤とする統一的な代数的・幾何的枠組みによって、ハーヴィッツ数と単調経路数の一般化がなされる。

ABSTRACT

Two methods of constructing 2D Toda $\ au$-functions that are generating functions for certain geometrical invariants of a combinatorial nature are related. The first involves generation of paths in the Cayley graph of the symmetric group $S_n$ by multiplication of the conjugacy class sums $C_\\lambda \\in C[S_n]$ in the group algebra by elements of an abelian group of central elements. Extending the characteristic map to the tensor product $C[S_n]\\otimes C[S_n]$ leads to double expansions in terms of power sum symmetric functions, in which the coefficients count the number of such paths. Applying the same map to sums over the orthogonal idempotents leads to diagonal double Schur function expansions that are identified as $\ au$-functions of hypergeometric type. The second method is the standard construction of $\ au$-functions as vacuum state matrix elements of products of vertex operators in a fermionic Fock space with elements of the abelian group of convolution symmetries. A homomorphism between these two group actions is derived and shown to be intertwined by the characteristic map composed with fermionization. Applications include Okounkov's generating function for double Hurwitz numbers, which count branched coverings of the Riemann sphere with nonminimal branching at two points, and various analogous combinatorial counting functions.

研究の動機と目的

• 2次元 Toda tau 関数の二つの異なる構成法を関連付けること：一つは $\mathbf{C}[S_n]$ 内の共轭類における群代数作用によるもの、もう一つはフェルミオン的 Fock 空間における頂点演算子行列要素によるもの。
• これらの tau 関数の二重シュール関数展開における係数を、$S_n$ のカイリー群における転置生成の経路数として組合せ的に解釈すること。
• 既知のハーヴィッツ数および単調経路数に関する結果を、混合および多単調経路数の列挙を含むより広いクラスの生成関数へと拡張すること。
• $\mathbf{C}[S_n]$ 内の中心的元のアーベル群と、Fock 空間における畳み込み対称性の群との間の同型写像を確立し、特徴写像とフェルミオン化を介してそれらが結びつくこと。
• 双曲型 2次元 Toda tau 関数を、幾何的意味を持つ組合せ的不変量の生成関数として、統一的な代数的・幾何的解釈を提供すること。

提案手法

• 群代数作用を対称関数展開に翻訳するために、$\mathbf{C}[S_n] \otimes \mathbf{C}[S_n]$ に拡張されたフロベニウス特徴写像を用いる。
• ジュシス＝マーフィーの基本対称関数の累乗和の指数関数によって生成される中心的元からなる群 $\mathcal{A}_P$ から、Fock 空間における畳み込み対称性の群 $\hat{C}$ への同型写像 $\mathcal{I}: \mathcal{A}_P \to \hat{C}$ を定義する。
• フェルミオン的 Fock 空間 $\mathcal{F}$ において、真空行列要素として tau 関数を頂点演算子と畳み込み対称性演算子の積として構成する。標準基底 $|\lambda;N\rangle$ において対角的である。
• 得られた tau 関数を、係数 $r_\lambda$ が経路数を符号化する対角的二重シュール関数展開 $\sum_{\lambda} r_\lambda^{(s,u_1,\dots,u_m)} S_\lambda(\mathbf{p}^{(1)}) S_\lambda(\mathbf{p}^{(2)})$ として表現する。
• フロベニウス特性式を用いて展開を基本対称関数の形に再表現し、$p$ および $w_\alpha$ 変数における多変数テイラー級数を得る。
• 係数 $E^{(n,d_1,\dots,d_m)}(\lambda,\mu)$ が、$m$ 個のセグメント（長さ $d_1,\dots,d_m$）に分けられ、各セグメント内で大きい添字が厳密に増加する順序で転置が生成される $S_n$ のカイリー群内の経路を数えることであることを特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元 Toda tau 関数は、$S_n$ のカイリー群における経路数といった組合せ的不変量の生成関数としてどのように解釈できるか？
• RQ2 ジュシス＝マーフィー作用素による群代数作用と、フェルミオン的 Fock 空間における頂点演算子構成との間の明確な代数的関係は何か？
• RQ3 2次元 Toda tau 関数の二重シュール関数展開における係数は、単調性制約付きの経路数とどのように対応するか？
• RQ4 HCIZ 積分およびその変種は、対称群内での多単調経路数の生成関数として理解できるか？
• RQ5 特徴写像とフェルミオン化同型は、tau 関数の構成における群代数的および Fock 空間的アプローチを統一するために果たす役割は何か？

主な発見

• tau 関数 $\tilde{Z}_{(2,m)}$ の基本対称関数展開における係数 $E^{(n,d_1,\dots,d_m)}(\lambda,\mu)$ は、共轭類 $C_\lambda$ から出発し、$C_\mu$ で終わる、$m$ 個のセグメント（長さ $d_1,\dots,d_m$）に分けられ、各セグメント内で大きい添字が厳密に増加する順序で転置が生成される $S_n$ のカイリー群内の経路数を数える。
• 対角的二重シュール関数展開 $\tilde{Z}_{(2,m)}(q,w_1,\dots,w_m|\mathbf{p}^{(1)},{\mathbf{p}}^{(2)}) = \sum_{\lambda} \tilde{r}_\lambda^{(q,w_1,\dots,w_m)} S_\lambda(\mathbf{p}^{(1)}) S_\lambda(\mathbf{p}^{(2)})$ の固有値 $\tilde{r}_\lambda^{(q,w_1,\dots,w_m)} = q^{|λ|} \prod_{\alpha=1}^m \prod_{(ij)\in\lambda} (1 + w_\alpha(j-i))$ は、多単調経路の生成関数を符号化する。
• $\mathcal{I}: \mathcal{A}_P \to \hat{C}$ は、群代数内の中心的元 $e^{\sum t_i P_i}$ を Fock 空間における畳み込み対称性に写像するが、特徴写像とフェルミオン化を合成した写像によって、それらが結びつく。
• $Z_{(2,m)}$ の $k=2$ の場合、これは双曲型の 2次元 Toda tau 関数であり、二重ハーヴィッツ数と単調二重ハーヴィッツ数の両方を一般化する。
• $k=1$ の場合、特殊値において HCIZ 積分に還元され、$w_\alpha \to 0$ の極限によって、弱単調経路数を数えることが示される。
• この構成全体は、同じ tau 関数が群代数（経路数の列挙を通じて）と Fock 空間（頂点演算子行列要素を通じて）の両方から得られることを示す統一的枠組みを提供する。特徴写像とフェルミオン化が、二つのアプローチを結ぶ橋渡しを果たす。