[論文レビュー] 3+1 decomposition in the new action for the Einstein Theory of Gravitation

Людвиг Дмитриевич Фаддеев|arXiv (Cornell University)|Mar 11, 2010

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 7被引用数 14

ひとこと要約

この論文は、アインシュタインの重力理論のファドデエフの新しい作用を3+1次元空間時間分解して再定式化し、その結果得られるハミルトニアン形式がディラックおよびアーノヴィッツ＝デーザー＝ミスナー（ADM）の正準形式を正確に再現することを示している。40個の動的変数 $ f_{\mu}^A $ を導入し、$ g_{\mu\nu} = f_{\mu}^A f_{\nu}^A $ および $ \Omega_{\alpha\mu}^\beta = f^{\beta A} \partial_\mu f_\alpha^A $ によって計量と接続を定義することで、作用は正準運動量 $ q^{ik} = \gamma \gamma^{ik} $、共役運動量 $ \Pi_{ik} $、および制約に分解され、ラグランジュ乗数 $ \lambda^0, \lambda^k $ を用いた標準的なADM作用に帰着する。これにより、古典的ヒルベルト＝アインシュタイン形式との等価性が確認されるとともに、将来の一般化が可能になる。

ABSTRACT

The action of recently proposed formulation of Einstein Theory of Gravitation is written according to 3+1 decomposition of the space-time variables. The result coincides with known formulation of Dirac and Arnowitt-Deser-Misner.

研究の動機と目的

• 一般相対性理論のためのファドデエフが最近提唱した作用の3+1分解を、新たな動的変数を用いて確立すること。
• 得られるハミルトニアン形式が、正準ディラックおよびADM形式と一致することを示すこと。
• 40変数で構成された新しい作用が、制約とゲージ固定を通じて標準ADM構造に還元されることを示すこと。
• 代替変数の定式化を検討することで、アインシュタイン理論の将来の一般化の基盤を提供すること。

提案手法

• 計量 $ g_{\mu\nu} = f_{\mu}^A f_{\nu}^A $ および接続 $ \Omega_{\alpha\mu}^\beta = f^{\beta A} \partial_\mu f_\alpha^A $ を定義するため、$ A=1,\dots,10 $、$ \mu=0,1,2,3 $ の40個の動的変数 $ f_{\mu}^A(x) $ を導入する。
• 作用を $ A = \int \sqrt{g} S \, d^4x $ の形で表現し、$ S $ は接続 $ \Omega_{\alpha\mu}^\beta $ から導かれるスカラー曲率であり、$ \Pi^{AB} $ はゲージ不変性を保証する垂直射影子である。
• 時間 $ x^0 = t $ と空間座標 $ x^k $ を分離することで3+1分解を実行し、$ \Sigma $ を時間微分項、$ \mathcal{H} $ を空間曲率寄与項として特定する。
• 正準変数を特定：$ q^{ik} = \gamma \gamma^{ik} $、$ \Pi_{ik} = \frac{1}{\sqrt{\gamma g^{00}}} \Omega_{ik}^0 $、ラグランジュ乗数 $ \lambda^k = \frac{g^{0k}}{g^{00}} $、$ \lambda^0 = \frac{1}{\sqrt{g} g^{00}} $ を定義する。
• 制約 $ f_k^A f^{0A} = 0 $、$ f^{0A} f^{0A} = g^{00} $ を用いて40変数系を36物理自由度に削減する。
• 全作用が標準ADM形式に還元されることを示す：$ A = \int d^3x \int dt \left( q^{ik} \partial_t \Pi_{ik} + \lambda^0 \mathcal{H}_0 + \lambda^k \mathcal{H}_k \right) $、ここで $ \mathcal{H}_0 $ および $ \mathcal{H}_k $ はハミルトニアン制約および運動量制約である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ファドデエフが40変数 $ f_{\mu}^A $ を用いて提唱した一般相対性理論の新しい作用は、3+1分解を経てディラックおよびADMの正準3+1形式を再現するか？
• RQ2 動的変数 $ f_{\mu}^A $、計量 $ g_{\mu\nu} $、接続 $ \Omega_{\alpha\mu}^\beta $ は3+1分解においてどのように変換されるか？
• RQ3 作用が共役変数 $ q^{ik} $、$ \Pi_{ik} $、およびラグランジュ乗数 $ \lambda^0 $、$ \lambda^k $ を用いた正準形式に再定式化可能か？ その形式はADM構造と一致するか？
• RQ4 垂直射影子 $ \Pi^{AB} $ はゲージ不変性を保証し、3+1分解を可能にする役割を果たすか？
• RQ5 得られるハミルトニアン構造は、古典的ヒルベルト＝アインシュタイン作用と等価であることを確認できるか？ また、将来の一般化の可能性を保持しているか？

主な発見

• ファドデエフ作用の3+1分解により、ADM形式と完全に同一の正準形式が得られ、作用が $ A = \int d^3x \int dt \left( q^{ik} \partial_t \Pi_{ik} + \lambda^0 \mathcal{H}_0 + \lambda^k \mathcal{H}_k \right) $ の形に表現されることを確認し、既存の正準重力理論と整合性があることが示された。
• 正準運動量 $ \Pi_{ik} $ は $ \Pi_{ik} = \frac{1}{\sqrt{\gamma g^{00}}} \Omega_{ik}^0 $ で定義され、共役変数 $ q^{ik} = \gamma \gamma^{ik} $ はシュヴィンガーが用いた正規化と一致しており、後にファドデエフ自身の研究でも採用されている。
• 運動量制約 $ \mathcal{H}_k $ は $ \mathcal{H}_k = 2\left[ \nabla_k(q^{ml}\Pi_{ml}) - \nabla_l(q^{ml}\Pi_{mk}) \right] $ で与えられ、ハミルトニアン制約 $ \mathcal{H}_0 = \gamma S^{(3)} - q^{km}q^{ln}(\Pi_{km}\Pi_{ln} - \Pi_{lm}\Pi_{kn}) $ である。ここで $ S^{(3)} $ は3次元スカラー曲率を表す。
• ラグランジュ乗数 $ \lambda^k = \frac{g^{0k}}{g^{00}} $ は運動量制約 $ \mathcal{H}_k $ に、$ \lambda^0 = \frac{1}{\sqrt{g} g^{00}} $ はハミルトニアン制約 $ \mathcal{H}_0 $ にそれぞれ乗じられ、空間微分同相変換および時間再パrametrization不変性を保証する。
• 分解により、ファドデエフの新しい作用が古典的にヒルベルト＝アインシュタイン作用と等価であることが確認された。得られる正準構造は、標準ADM形式と完全に一致している。
• 変数 $ f_{\mu}^A $ の導入により40成分が導入され、4つの制約を経て36物理自由度に還元される。この形式は一般座標変換に対して完全な共変性を保ち、変換則 $ \delta f_{\mu}^A = -\partial_\mu \epsilon^\nu f_\nu^A - \epsilon^\nu \partial_\nu f_\mu^A $ に従う。