[論文レビュー] 3-extra connectivity of 3-ary n-cube networks

Mei-Mei Gu, Rong‐Xia Hao|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2013

Interconnection Networks and Systems参考文献 21被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、n≥3 に対して 3-ary n-cube ネットワークの 3-Extra 接続性を 8n−12 として確立している。これは、ネットワークを切断するには少なくとも 8n−12 個の頂点を削除する必要があることを示しており、各成分に 4 個未満の頂点が含まれないことを保証している。証明は帰納的推論と部分立方体における成分解析を用い、構造的性質と接続性の上限を活用して、3-Extra 接続性の制約下での最小頂点カットが確認されている。

ABSTRACT

Let G be a connected graph and S be a set of vertices. The h-extra connectivity of G is the cardinality of a minimum set S such that G-S is disconnected and each component of G-S has at least h+1 vertices. The h-extra connectivity is an important parameter to measure the reliability and fault tolerance ability of large interconnection networks. The h-extra connectivity for h=1,2 of k-ary n-cube are gotten by Hsieh et al. in [Theoretical Computer Science, 443 (2012) 63-69] for k>=4 and Zhu et al. in [Theory of Computing Systems, arxiv.org/pdf/1105.0991v1 [cs.DM] 5 May 2011] for k=3. In this paper, we show that the h-extra connectivity of the 3-ary n-cube networks for h=3 is equal to 8n-12, where n>=3.

研究の動機と目的

• 相互接続システムにおける故障耐性を評価するための重要な指標である、3-ary n-cube ネットワークの 3-extra 接続性を特定すること。
• h=1,2 の場合の先行研究における h-extra 接続性を、3-ary n-cube における h=3 の場合に拡張すること。
• サイズが少なくとも 4 の成分を分離する最小頂点カットに対して、タイトな下限と上限を確立すること。
• 部分立方体の接続性と頂点削除下での成分挙動の帰納的分析を通じて、結果を検証すること。

提案手法

• n における帰納法を用いて Qₙ³ の構造を分析し、3 つの (n−1) 次元部分立方体 Q[0], Q[1], Q[2] に分解する。
• h-extra 接続性の定義を適用する：頂点カット S が存在し、G−S が非連結であり、かつ各成分に少なくとも h+1 個の頂点が含まれる。
• 部分立方体 Q[j] に分布する故障頂点 F とそれらの誘導カット F_j を分析し、部分立方体が接続されたままか、または分離されたかの状況を検討する。
• 接続性の上限と外部隣接頂点の数え上げを用いて、大きな成分が部分立方体間を接続する必要があることを示し、F が十分に大きくない限り、全体のネットワークは接続されたまま保たれることを保証する。
• 外部隣接頂点に関する補題と成分サイズ（例：W がメイン成分に隣接する頂点を持たない場合、|W| < 4）を用いて、孤立成分のサイズを制限する。
• 部分立方体の接続性に関する帰納的仮定とグローバルな頂点カット解析を統合し、任意の 3-extra 頂点カットのサイズが 8n−12 以上であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 n≥3 の 3-ary n-cube ネットワークの 3-extra 接続性は何か？
• RQ2 このネットワークにおける 3-extra 接続性は、標準的な接続性や 1-または 2-extra 接続性と比べてどのように異なるか？
• RQ3 構造的分解と成分解析を用いて、3-extra 接続性を下限と上限の両方で束縛できるか？
• RQ4 頂点カットのサイズが 8n−12 であることが、ネットワークを切断するのに必要かつ十分であるための条件は何か？

主な発見

• すべての n≥3 に対して、3-ary n-cube ネットワーク Qₙ³ の 3-extra 接続性は正確に 8n−12 である。
• Qₙ³ を切断するには、4 個未満の頂点を含む成分が存在しないことを保証するため、8n−12 の頂点カットが必要である。
• 8n−12 の下限は帰納的証明と成分サイズの分析により確立され、3-extra 条件下ではより小さいカットではネットワークを分離できないことが示された。
• 8n−12 の上限は、そのサイズの有効な 3-extra 頂点カットの構築により確認され、タイトさが裏付けられた。
• 証明により、任意の 3-extra 頂点カットは、サイズが 3 以下の成分を分離するか、少なくとも 8n−12 個の頂点を必要とすることが確認された。
• この結果はすべての n≥3 に対して成り立ち、部分立方体の分解と外部隣接頂点の数え上げを用いて、成分間の接続性を追跡する分析に依存している。