[論文レビュー] 3d QHE and elasticity tetrads

Jaakko Nissinen, G. E. Volovik|arXiv (Cornell University)|Dec 7, 2018

Topological Materials and Phenomena被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、三次元結晶的トポロジカル絶縁体に対する(3+1)次元混合チャーン・シモンズ応答理論を提案する。ここでは、結晶的U(1)位相場の勾配として定義される弾性四元数場—が電磁気的U(1)ゲージ場と結合する。この理論は、結晶対称性によって保護される弱いトポロジカル不変量に起因する、格子歪みに対する量子化されたホール電導度応答を予測する。また、ディスlocationsを含む系へのカルン＝ハーヴェイ異常流入機構の拡張がなされ、四元数場が重力に組み込まれる際、物理的パラメータが次元なしの量へと変化することを示す。

ABSTRACT

For two-dimensional topological insulators, the integer and intrinsic (without external magnetic field) quantum Hall effect is described by the gauge anomalous (2+1)-dimensional [2+1d] Chern-Simons (CS) response for the background gauge potential of the electromagnetic U(1) field. The Hall conductance is given by the quantized prefactor of the CS term, which is a momentum-space topological invariant. Here, we show that three-dimensional crystalline topological insulators with no other symmetries are described by a topological (3+1)-dimensional [3+1d] mixed CS term. In addition to the electromagnetic U(1) gauge field, this term contains elasticity tetrad fields $E^{ a}_{\mu}({\bf r},t) = \partial_{\mu}X^a(\mathbf{r},t)$ which are gradients of crystalline U(1) phase fields $X^a(\mathbf{r},t)$ and describe the deformations of the crystal. For a crystal in three spatial dimensions $a=1,2,3$ and the mixed axial-gravitational response contains three parameters protected by crystalline symmetries: the weak momentum-space topological invariants. The response of the Hall conductance to the deformations of the crystal is quantized in terms of these invariants. In the presence of dislocations, the anomalous 3+1d CS term describes the Callan-Harvey anomaly inflow mechanism. The response can be extended to all odd spatial dimensions. The elasticity tetrads, being the gradients of the lattice U(1) fields, have canonical dimension of inverse length. Similarly, if such tetrad fields enter general relativity, the metric becomes dimensionful, but the physical parameters, such as Newton's constant, the cosmological constant, and masses of particles, become dimensionless.

研究の動機と目的

• 2次元を超える量子ホール効果の理解を拡張するため、3次元結晶的トポロジカル絶縁体のトポロジカル応答理論を構築すること。
• 結晶的U(1)位相場の勾配として定義される弾性四元数場が、混合ゲージ-重力応答を媒介する役割を特定すること。
• 格子歪みに対するホール電導度応答が、結晶対称性によって保護される弱い運動量空間トポロジカル不変量によって量子化されることを示すこと。
• カルン＝ハーヴェイ異常流入機構を、結晶的トポロジカル絶縁体に存在するディスlocationsを含む3次元系へ一般化すること。
• 重力理論に弾性四元数場を導入した際の次元的意味を検討し、物理定数が次元なしの量へと変化することを明らかにすること。

提案手法

• 電磁気的U(1)ゲージ場と弾性四元数場 $E^{a}_{\mu} = \partial_{\mu}X^a$ を結合する(3+1)次元混合チャーン・シモンズ項を定式化する。ここで $X^a$ は結晶的位相場である。
• 弾性四元数場の次元（長さの逆数）を用いて、四元数場が導入された一般相対性理論における物理パラメータの次元を導出する。
• 格子歪み下での量子化されたホール応答を保護する、運動量空間に存在する3つの弱いトポロジカル不変量を同定する。
• ディスロケーションの存在下で、カルン＝ハーヴェイ異常流入機構を適用して応答を記述する。
• 形式的枠組みをすべての奇数次元空間に拡張し、トポロジカル応答構造を保存する。
• ニュートン定数、宇宙定数、および粒子質量に対する影響を分析し、四元数に基づく形式化においてそれらが次元なしの量へと変化することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 三次元結晶的トポロジカル絶縁体における量子ホール効果は、格子歪みを含むトポロジカル応答理論によってどのように記述できるか？
• RQ2 結晶的U(1)位相場の勾配として定義される弾性四元数場は、混合ゲージ-重力応答を媒介する役割を果たすか？
• RQ3 弱い運動量空間トポロジカル不変量を用いて、ホール電導度とその格子歪みへの応答はどのように量子化されるか？
• RQ4 ディスロケーションを有する3次元結晶的トポロジカル絶縁体において、カルン＝ハーヴェイ異常流入機構はどのように現れるか？
• RQ5 一般相対性理論に弾性四元数場を導入した際、特に基本物理定数に対してどのような次元的影響が生じるか？

主な発見

• 3次元結晶的トポロジカル絶縁体の応答は、電磁気的U(1)ゲージ場と弾性四元数場 $E^{a}_{\mu} = \partial_{\mu}X^a$ を含む(3+1)次元混合チャーン・シモンズ項によって支配される。
• 格子歪みに対するホール電導度応答は、結晶対称性に起因する3つの弱い運動量空間トポロジカル不変量によって保護され、量子化されている。
• ディスロケーションの存在により、カルン＝ハーヴェイ異常流入機構が実現され、体積内のトポロジカル応答と表面モードが結びつけられる。
• 弾性四元数場は長さの逆数という標準次元を有し、一般相対性理論に組み込まれると、ニュートン定数や粒子質量といった物理定数が次元なしの量へと変化する。
• 形式的枠組みはすべての奇数次元空間に一般化可能であり、応答のトポロジカル構造が保たれる。
• 次元を持つ計量は四元数場から生じる有効な量となり、基本定数はこの形式化において次元なしの値をとる。