[論文レビュー] 3d TQFTs from Argyres-Douglas theories

Mykola Dedushenko, Sergei Gukov+3 more|arXiv (Cornell University)|Sep 12, 2018

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 37被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、4次元 ${\mathcal{N}}=2$ 一般化アーギレス＝ダウグラー（AD）理論を $S^1 \times M_3$ 上でコンパクト化し、$\mathbb{Z}_N$ グローバル対称性に非自明なホロノミーを導入することで、新しいクラスの3次元位相的量子場理論（TQFT）を構成する。得られるTQFTは非ユニタリでセミシンプルであり、ワイルド・ヒチンモジュライ空間とチラル代数から導かれるモジュラーテンソルカテゴリ（MTC）に関連している。ガロア作用により異なるMTCが関連づけられ、既知の理論（$(G_2)_1$ や $(F_4)_1$ チャーン＝サイモンズ理論）が回復される。

ABSTRACT

We construct a new class of three-dimensional topological quantum field theories (3d TQFTs) by considering generalized Argyres-Douglas theories on $S^1 imes M_3$ with a non-trivial holonomy of a discrete global symmetry along the $S^1$. For the minimal choice of the holonomy, the resulting 3d TQFTs are non-unitary and semisimple, thus distinguishing themselves from theories of Chern-Simons and Rozansky-Witten types respectively. Changing the holonomy performs a Galois transformation on the TQFT, which can sometimes give rise to more familiar unitary theories such as the $(G_2)_1$ and $(F_4)_1$ Chern-Simons theories. Our construction is based on an intriguing relation between topologically twisted partition functions, wild Hitchin characters, and chiral algebras which, when combined together, relate Coulomb branch and Higgs branch data of the same 4d $\mathcal{N}=2$ theory. We test our proposal by applying localization techniques to the conjectural $\mathcal{N}=1$ UV Lagrangian descriptions of the $(A_1,A_2)$, $(A_1,A_3)$ and $(A_1,D_3)$ theories.

研究の動機と目的

• 4次元 ${\mathcal{N}}=2$ アーギレス＝ダウグラー（AD）理論を $S^1 \times M_3$ 上でコンパクト化し、$S^1$ に沿って非自明なホロノミー $\gamma \in \mathbb{Z}_N$ を導入することによる、3次元TQFTの新規構成法の確立。
• トポロジカルなねじれとホロノミーを用いて、AD理論におけるクーロン枝とヒッグス枝の演算子スペクトルの非自明な関係を明確化すること。
• 得られる3次元TQFTが、ワイルド・ヒチンモジュライ空間とチラル代数から導かれるモジュラーテンソルカテゴリ（MTC）に関連するセミシンプルで非ユニタリであることを特定すること。
• ホロノミーパラメータ $\gamma \in \mathbb{Z}_N^\times$ におけるガロア作用が、同型または双対なMTCを生成することを示し、既知のユニタリTQFT（$(G_2)_1$ や $(F_4)_1$）を回復できることを示すこと。

提案手法

• 一般化AD理論を $S^1 \times M_3$ 上でコンパクト化し、$S^1$ に沿って非自明なホロノミー $\gamma \in \mathbb{Z}_N$ を導入し、$M_3$ に沿ってトポロジカルなねじれを施す。これは $\mathrm{Spin}(3)$ を $SU(2)_R \subset SU(2)_R \times U(1)_r$ に一致させることで実現される。
• 分配関数は $M_3$ のトポロジカル不変量となり、AD理論 $\mathcal{T}$ とホロノミー $\gamma$ から導かれるモジュラーテンソルカテゴリ $\mathcal{C}_{\mathcal{T}}^\gamma$ に関連する3次元TQFTを記述する。
• トポロジカルにねじった分配関数、ワイルド・ヒチンキャラクター、チラル代数の関係を用いて、同一の4次元 ${\mathcal{N}}=2$ 理論におけるクーロン枝とヒッグス枝のデータを結びつける。
• $(A_1,A_2)$、$(A_1,A_3)$、$(A_1,D_3)$ 理論の推測的な ${\mathcal{N}}=1$ UVラグランジアン記述を用いて局在化技法を適用し、分配関数を計算し、モジュラー不変性を検証する。
• TQFTデータからモジュラー $S$ および $T$ 行列を計算し、$S^1 \times M_3$ 上の分配関数をMTC内の単純対象の和として表す。重みは $S_{0\lambda}^{2 - \deg(v)} T_{\lambda\lambda}^{a_v} \prod_{\text{辺}} S_{\lambda\lambda'}$ で与えられる。
• ガロア群 $\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(e^{2\pi i/N})/\mathbb{Q}) \simeq \mathbb{Z}_N^\times$ を用いて、異なるホロノミー選択を関連付け、一部の非ユニタリMTCが $(G_2)_1$ や $(F_4)_1$ チャーン＝サイモンズ理論のようなユニタリTQFTに写像可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 4次元 ${\mathcal{N}}=2$ アーギレス＝ダウグラー理論を $S^1 \times M_3$ 上でコンパクト化し、非自明なホロノミーを伴う場合、3次元TQFTをどのように構成できるか？
• RQ2 トポロジカルなねじれとホロノミーを通じて、AD理論におけるクーロン枝とヒッグス枝の演算子スペクトルの正確な関係は何か？
• RQ3 得られる3次元TQFTはモジュラーテンソルカテゴリ（MTC）とどのように関係しているのか？ワイルド・ヒチンキャラクターとチラル代数はこの構成において果たす役割は何か？
• RQ4 ホロノミーパラメータ $\gamma$ におけるガロア変換が、$(G_2)_1$ や $(F_4)_1$ チャーン＝サイモンズ理論といった既知のユニタリTQFTを非ユニタリMTCから生成できるか？
• RQ5 $(A_1,A_2)$、$(A_1,A_3)$、$(A_1,D_3)$ 理論の ${\mathcal{N}}=1$ ラグランジアン記述における局在化計算は、提案されたTQFT構造とモジュラー不変性をどの程度確認できるか？

主な発見

• 分配関数は $S^1 \times M_3$ 上で $Z_{\text{AD}}(S^1 \times M_3) = \sum_{\lambda_v} \prod_{\text{頂点}} S_{0\lambda_v}^{2 - \deg(v)} T_{\lambda_v\lambda_v}^{a_v} \prod_{\text{辺}} S_{\lambda_v\lambda_v'}$ として計算され、$S$ および $T$ 行列はMTCから導かれる。
• $(A_1,D_3)$ 理論では、MTCに3つの単純対象があり、量子次元は $\mathcal{H}_1 = \mathcal{H}_2 = \mathcal{H}_3 = 3$ である。モジュラー $S$ および $T$ 行列は $\mathfrak{su}(2)_{-4/3}$ において $k = -4/3$ の場合と一致し、チラル代数の予想を確認する。
• $(A_1,D_3)$ 理論の $\gamma = 1$ におけるMTCは非ユニタリであり、$\gamma = 2$ のものと複素共役関係にあるが、両者ともガロア作用によって関連づけられ、一貫した分配関数をもたらす。
• $S^1 \times L_g(p)$ 上の分配関数は $Z = 3^{g-1}(e^{i\pi/2} + 2e^{-i\pi/6}) = \sum_{\lambda=0}^2 (S_{0\lambda})^{2-2g} (T_{\lambda\lambda})^p$ として与えられ、モジュラー形式の予測と一致する。
• $(A_1,D_3)$ のMTCはガロア作用によってユニタリMTCと関連づけられないが、$\lambda=1$ の対象の符号を反転させることで、$SU(3)_1$ や $(E_6)_1$ チャーン＝サイモンズ理論によって実現可能な $\mathbb{Z}_3$ MTCが得られる。
• この構成により、既知のユニタリTQFTが回復される：$(A_1,A_2)$ の $\gamma = 1$ ではMTCが $(G_2)_1$ チャーン＝サイモンズ理論と一致し、$(A_1,A_3)$ の $\gamma = 1$ では $(F_4)_1$ チャーン＝サイモンズ理論と一致する。これはガロア共役と可逆TQFTとのテンソル積を介して達成される。