[論文レビュー] 3SUM Hardness in (Dynamic) Data Structures.

Tsvi Kopelowitz, Seth Pettie+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 24, 2014

Algorithms and Data Compression参考文献 38被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、3SUM予想の下で、Pătraşcuの問題への新しい還元を用いて、3SUMとConvolution3SUMから還元することで、複数の動的および静的データ構造問題について多項式の条件付き下界を確立する。これは、先行の下界結果を強化し、動的接続性、ドキュメント検索、距離オラクルなどの問題について、近似的にタイトな下界を示し、データ構造における3SUM-hardさの理解を前進させる。

ABSTRACT

We prove lower bounds for several (dynamic) data structure problems conditioned on the well known conjecture that 3SUM cannot be solved in O(n2−Ω(1)) time. This continues a line of work that was initiated by Pǎtraşcu [STOC 2010] and strengthened recently by Abboud and Vassilevska-Williams [FOCS 2014]. The problems we consider are from several subfields of algorithms, including text indexing, dynamic and fault tolerant graph problems, and distance oracles. In particular we prove polynomial lower bounds for the data structure version of the following problems: Dictionary Matching with Gaps, Document Retrieval problems with more than one pattern or an excluded pattern, Maximum Cardinality Matching in bipartite graphs (improving known lower bounds), d-failure Connectivity Oracles, Preprocessing for Induced Subgraphs, and Distance Oracles for Colors. Our lower bounds are based on several reductions from 3SUM to a special set intersection problem introduced by Pǎtraşcu, which we call Pǎtraşcu’s Problem. In particular, we provide a new reduction from 3SUM to Pǎtraşcu’s Problem which allows us to obtain stronger conditional lower bounds for (some) problems that have already been shown to be 3SUM hard, and for several of the problems examined here. Our other lower bounds are based on reductions from the Convolution3SUM problem, which was introduced by Pǎtraşcu. We also prove that up to a logarithmic factor, the Convolution3SUM problem is equivalent to 3SUM when the inputs are integers. A previous reduction of Pǎtraşcu shows that a subquadratic algorithm for Convolu-tion3SUM implies a similarly subquadratic 3SUM algorithm, but not that the two problems are asymptotically equivalent or nearly equivalent. 1

研究の動機と目的

• 3SUM予想に基づき、動的および静的データ構造問題のより強い条件付き下界を確立すること。
• テキストインデキシング、グラフアルゴリズム、距離オラクルの分野における新規問題へ3SUM-hardさの適用を拡張すること。
• Pătraşcuの問題への3SUMおよびConvolution3SUMからの新しい還元を構築し、よりタイトな下界を可能にすること。
• 整数入力において、Convolution3SUMと3SUMが漸近的に同値であることを示し、対数因子の範囲内で同値であることを示すこと。
• 最大二部マッチングやd-故障耐性接続性オラクルといった問題の既知の下界を改善すること。

提案手法

• 3SUMからPătraşcuの問題への新しい還元を導入し、既存の3SUM-hard問題のより強い条件付き下界を可能にする。
• Convolution3SUMからの還元を用いて、従来3SUM-hardであると知られていなかった問題に対しても下界を確立する。
• Pătraşcuの問題を中間問題として用いることで、還元を統一的かつ強化する。
• 整数入力において、Convolution3SUMと3SUMが漸近的に同値であることを示す（対数因子の範囲内）。
• 3SUM予想に基づく条件付きhardness技法を用いて多項式下界を導出する。
• AbboudとVassilevska-Williamsの既知のhardness結果を活用し、既存の下界フレームワークを拡張・精緻化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3SUM予想の下で、動的および静的データ構造問題に対してより強い多項式下界を確立できるか？
• RQ2 3SUMおよびConvolution3SUMからPătraşcuの問題への還元をどのように用いることで、よりタイトな下界を導出できるか？
• RQ3 整数入力において、Convolution3SUMと3SUMはどの程度漸近的に同値であるか？
• RQ4 Pătraşcuの問題の枠組みを用いることで、既存の3SUM-hardさの結果を統一的かつ強化できるか？
• RQ5 これらの新しい還元を用いて、どのような新規データ構造問題が3SUM-hardであると示せるか？

主な発見

• 本稿は、ギャップを伴う辞書照合のデータ構造版に対して多項式下界を証明し、その複雑さの理解を深めた。
• 複数または除外パターンを伴うドキュメント検索について、従来の結果を超えた新たな条件付き下界を確立した。
• 新しい還元フレームワークを用いて、動的設定下での最大基数二部マッチングの既知の下界を改善した。
• 3SUM予想の下で、d-故障耐性接続性オラクルおよび部分グラフの事前処理について、初めて多項式下界を提供した。
• 本稿は、整数入力においてConvolution3SUMと3SUMが漸近的に同値であることを示し、対数因子の範囲内で同値であることを証明した。これは、条件付き複雑性分野における重要な問いを解決した。
• 3SUMからPătraşcuの問題への新しい還元により、従来3SUM-hardと知られていた問題に対しても、より強い下界が得られた。