[論文レビュー] 6D F-theory models and elliptically fibered Calabi-Yau threefolds over semi-toric base surfaces

Gabriella Martini, Washington Taylor|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2014

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 28被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、6次元F理論コン팩ト化における楕円曲線ファイバー付きCalabi-Yau3-foldの基底として機能する、単一の$\mathbb{C}^*$作用を持つ、一般化されたトーリック表面である滑らかな$\mathbb{C}^*$-表面162,404例を体系的に分類している。この手法は、非トーリックだが$\mathbb{C}^*$-可換な表面を含むトーリック幾何学の拡張であり、以前に未知のHodge数とMordell-Weil群のランクが正であるために生じる非ヒッグス化$U(1)$ゲージ因子を有する、新たなCalabi-Yau幾何学を明らかにした。

ABSTRACT

We carry out a systematic study of a class of 6D F-theory models and associated Calabi-Yau threefolds that are constructed using base surfaces with a generalization of toric structure. In particular, we determine all smooth surfaces with a structure invariant under a single C^* action (sometimes called "T-varieties" in the mathematical literature) that can act as bases for an elliptic fibration with section of a Calabi-Yau threefold. We identify 162,404 distinct bases, which include as a subset the previously studied set of strictly toric bases. Calabi-Yau threefolds constructed in this fashion include examples with previously unknown Hodge numbers. There are also bases over which the generic elliptic fibration has a Mordell-Weil group of sections with nonzero rank, corresponding to non-Higgsable U(1) factors in the 6D supergravity model; this type of structure does not arise for generic elliptic fibrations in the purely toric context.

研究の動機と目的

• 6次元F理論コンパクト化の分類を、厳密にトーリックな基底表面にとどまらず、$\mathbb{C}^*$作用を持つより広いクラスの滑らかな表面に拡張すること。
• 楕円曲線ファイバー付きCalabi-Yau3-foldにセクションをもつ基底として機能できる、すべての滑らかな$\mathbb{C}^*$-表面を特定・列挙すること。
• 得られるCalabi-Yau幾何学、特に純粋なトーリック枠組みでは実現できない、新しいHodge数や非アーベル的またはアーベル的ゲージ群構造を有するものを探ること。
• 一般楕円ファイバーのMordell-Weil群のランクが正であることに起因する、F理論モデルにおける非ヒッグス化$U(1)$ゲージ因子の出現を調査すること。

提案手法

• 著者らは、楕円曲線ファイバー付きCalabi-Yau3-foldにセクションをもつ基底として機能できる、単一の$\mathbb{C}^*$作用を持つ滑らかな表面（すなわち$\mathbb{C}^*$-表面）を分類した。
• 標準的なトーリック手法を一般化するため、$(\mathbb{C}^*)^2$作用をもたないが$\mathbb{C}^*$作用をもつ表面に注目したT多様体の枠組みを用いた。
• 非アーベルゲージ群は、自己交わりが$\leq -2$である有効な既約除集合の交わり構造によって直接決定される。
• 楕円ファイバーはWeierstrass形式$y^2 = x^3 + fx + g$で記述され、$f$と$g$はそれぞれ$\mathcal{O}(-4K)$および$\mathcal{O}(-6K)$の切断である。ここで$K$は基底のcanonicalクラスである。
• 得られるCalabi-Yau3-foldのHodge数$h^{1,1}$と$h^{2,1}$は、基底幾何とファイバー情報から計算された。
• 非ヒッグス化$U(1)$ゲージ因子の存在は、有理セクションのMordell-Weil群を介して検出され、非トーリックな$\mathbb{C}^*$-表面ではランクが正となることがある。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 6次元F理論コンパクト化において、楕円曲線ファイバー付きCalabi-Yau3-foldにセクションをもつ基底として機能できる、滑らかな$\mathbb{C}^*$-表面の完全な集合は何か？
• RQ2 これらの基底のうち、純粋なトーリック分類では得られなかったHodge数をもつCalabi-Yau3-foldはどれか？
• RQ3 非トーリックな$\mathbb{C}^*$-表面では、非ヒッグス化$U(1)$ゲージ因子が出現しうるか？ もしそうなら、幾何学的構造にどのように符号化されるか？
• RQ4 楕円ファイバーのセクションのMordell-Weil群は、これらの一般化された基底における6次元超重力理論のゲージ群構造とどのように関係するか？
• RQ5 これらの$\mathbb{C}^*$-表面における$-2$-曲線の鎖構造とその交わりはどのようなものか？ そしてそれはどのようにゲージ群と物質内容を決定するか？

主な発見

• 著者らは、楕円曲線ファイバー付きCalabi-Yau3-foldにセクションをもつ基底として機能できる、合計162,404例の異なる滑らかな$\mathbb{C}^*$-表面を同定した。
• 得られたCalabi-Yau3-foldのうち14例は、トーリック分類では以前に得られなかったHodge数を有しており、特に$h^{1,1}=62, h^{2,1}=2$および$h^{1,1}=61, h^{2,1}=1$が含まれ、新たな幾何学的構造を示している。
• いくつかのモデルでは、Mordell-Weil群のセクションがランク0より大きいことが確認され、非ヒッグス化$U(1)$ゲージ因子に対応しており、これは一般にトーリックファイバーでは生じない特徴である。
• モデル$r=8$, $N=4$, $n_0=-2$, $n_∞=-2$は$T=9$, $h^{1,1}=19$, $h^{2,1}=19$をもつ。これは、2つの$I_0^*(\hat{D}_4)$ $-2$-クラスタをもつ$dP_9$の特別な極限である。
• $-2$-曲線の鎖構造は、ゲージ群と物質内容を決定する。$(-1,-3,-1,-3,-1)$や$(-2,-1,-2)$といった例が複数のモデルに共通して現れる。
• この手法はトーリック分類を成功裏に一般化し、非トーリックな$\mathbb{C}^*$-表面が、従来の知られていたものよりも豊かなゲージおよび物質内容を有する物理的に異なるF理論真空を支えることができることを明らかにした。