[論文レビュー] A Bernstein type inequality and moderate deviations for weakly dependent sequences

Florence Merlevède, Magda Peligrad+1 more|ArXiv.org|Feb 3, 2009

Probability and Risk Models参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、半指数的尾部を示す弱相関系列の部分和に対して、ベルンシュタイン型の尾部不等式を確立し、古典的な指数的バウンドを混合過程へ拡張する。一般の混合条件の下で中程度の偏差原理（MDP）を導出し、収束の最適条件を証明し、マルコフ連鎖、絶対正規性を満たす創発項をもつ線形過程、ARCHモデルへの応用を含む。

ABSTRACT

In this paper we present a tail inequality for the maximum of partial sums of a weakly dependent sequence of random variables that are not necessarily bounded. The class considered includes geometrically and subgeometrically strongly mixing sequences. The result is then used to derive asymptotic moderate deviations results. Applications include classes of Markov chains, functions of linear processes with absolutely regular innovations and ARCH models

研究の動機と目的

• 独立同一分布（i.i.d.）の場合を越えて、半指数的尾部を示す弱相関系列に対するベルンシュタイン型尾部不等式を拡張すること。
• 一般の混合条件の下で、弱相関系列の部分和に対する中程度の偏差原理（MDP）を導出すること。
• 依存係数の減衰速度と尾部挙動の観点から、MDPの最適条件を確立すること。
• 幾何的混合マルコフ連鎖、絶対正規性を満たす創発項をもつ線形過程、ARCH過程といった具体的なモデルへの応用を示すこと。

提案手法

• 半指数的尾部条件の下でモーメント生成関数のバウンドを用いて、部分和の最大値に対する新しい尾部不等式を導出する。
• 独立コピーを用いて変数間の依存を制御するため、デカップリング不等式（補題2）を用いる。
• 部分ウェイブルモーメント条件の下で、従属確率変数の和に対する対数ラプラス変換のバウンド（補題3）を適用する。
• ブロックごとの分解とマルティングール近似を用いて、分散と極限挙動を制御する。
• 強い混合および絶対正規性の下で、必要な指数的バウンドと緊密性条件を満たすことでMDPを確立する。
• 主な不等式を、必要なモーメントおよび依存条件を満たすことで、特定のモデルに適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重尾または半指数的尾部を示す弱相関系列に対して、ベルンシュタイン型不等式を確立できるか？
• RQ2 弱相関系列における中程度の偏差原理の最適な混合速度および尾部減衰条件は何か？
• RQ3 幾何的混合マルコフ連鎖および線形過程に対する既存のバウンドに比べて、本研究の結果はどのように向上するか？
• RQ4 非線形モデル、例えば創発項が依存するARCH過程に対しても、この枠組みを適用可能か？
• RQ5 弱依存下での中程度の偏差原理における速度パrameter $ a_n $ の正確な閾値は何か？

主な発見

• 幾何的および非幾何的強い混合条件の下で、半指数的尾部を示す弱相関系列に対する新しいベルンシュタイン型不等式が確立された。
• この不等式は、$ heta \to 0 $ のとき、$ \theta $ と尾部指数 $ \beta $ に依存するレートで、部分的なガウス型バウンドを提供する。
• $ \beta = 1 $ で幾何的混合の系列に対しては、$ a_n \to 0 $ かつ $ n^{-1/2} $ より速やかに $ a_n \to 0 $ となる条件の下でMDPが成立し、既存の結果を改善する。
• 有界関数をもつ定常的・幾何的混合マルコフ連鎖に対して、$ a_n \to 0 $ かつ $ n^{-1/2} $ より速やかに $ a_n \to 0 $ となる条件の下でMDPが証明された。
• 絶対正規性を満たす創発項をもつ線形過程およびARCHモデルに対しても、この枠組みが適用可能であり、尾部および依存条件が検証された。
• 和の分散正規化 $ \text{Var}(S_n)/n \to \tau^2 > 0 $ は、共分散の可summable減衰の下で確立され、非退化極限挙動が保証された。