[論文レビュー] A-branes and Noncommutative Geometry

Anton Kapustin|ArXiv.org|Feb 23, 2005

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 21被引用数 45

ひとこと要約

本稿では、Seiberg-Witten変換を用いて、特定の正則シンプレクティック多様体上のA-braneの圏と、同一多様体上の整合的層の導来圏（B-brane）の間の非可換変形同値性を提案する。主な結果は、シンプレクティックトーラス上のA-braneの自己準同型が非可換正則ベクトル束のコホモロジーに一致し、非可換変形においてもオイラー乗数が保存されることである。

ABSTRACT

We argue that for a certain class of symplectic manifolds the category of A-branes (which includes the Fukaya category as a full subcategory) is equivalent to a noncommutative deformation of the category of B-branes (which is equivalent to the derived category of coherent sheaves) on the same manifold. This equivalence is different from Mirror Symmetry and arises from the Seiberg-Witten transform which relates gauge theories on commutative and noncommutative spaces. More generally, we argue that for certain generalized complex manifolds the category of generalized complex branes is equivalent to a noncommutative deformation of the derived category of coherent sheaves on the same manifold. We perform a simple test of our proposal in the case when the manifold in question is a symplectic torus.

研究の動機と目的

• A-braneの圏を、現在はB-brane（整合的層の導来圏）と比較してあまり理解が進んでいない非可換な代数的記述に再定式化すること。
• A-braneの幾何的定義（Fukaya圏によるもの）とB-braneの代数的定義（導来圏によるもの）の間の非対称性を解消すること。
• 同一多様体上でのA-braneと、B-braneの非可換変形との間の、鏡像対称性とは異なる新しい同値性を確立すること。
• 非可換構造がPoincaré線束の曲率から生じるシンプレクティックトーラスのケースにおいて、この提案を検証すること。
• 一般化された複素多様体へと枠組みを拡張し、一般化された複素ブレーンと非可換整合的層の間の類似した同値性を提案すること。

提案手法

• Seiberg-Witten変換を用いて、可換空間と非可換空間上のゲージ理論を関連させ、正則ベクトル場Ω⁻¹の方向に多様体の複素構造を変形する。
• Ref. [6] の提案を応用し、特定の一般化された複素多様体が、変形量の量子化によって非可換複素多様体に関連することを適用する。
• 特定の双ベクトル場θを用いたSeiberg-Witten変換により、可換な正則ベクトル束から非可換正則ベクトル束を構成する。
• 非可換トーラス上の twisted Dirac作用素の指標を用いて、A-brane間の準同型空間を非可換∂̄-コホモロジーとして計算する。
• Mukaiペアリングとチャーン類を用いて、準同型空間のオイラー乗数を計算し、可換極限への連続的変形においても不変であることを示す。
• T-dualityと鏡像対称性を一貫性の確認として用い、非可換計算と鏡像トーラス上のFourier-Mukai変換による計算が一致することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則シンプレクティック多様体上のA-braneの圏は、同一多様体上の整合的層の導来圏の非可換変形として同値に記述可能か？
• RQ2 シンプレクティックトーラスの文脈において、Seiberg-Witten変換はA-braneと非可換B-braneの間の同値性をどのように媒介するか？
• RQ3 Poincaré線束の曲率が、変形における非可換性パラメータを定義する役割を果たすか？
• RQ4 A-brane間の準同型空間のオイラー乗数は非可換変形においても不変か？ もしそうなら、どのように計算されるか？
• RQ5 この同値性は一般化された複素多様体へと一般化可能か？ 一般化された複素ブレーンの構造とどのように関係するか？

主な発見

• 実部の正則シンプレクティック形式の整数周期を持つ正則シンプレクティック多様体上のA-braneの圏は、同一多様体の非可換変形上の整合的層の導来圏と同値である。
• シンプレクティックトーラスの場合、非可換変形はPoincaré線束の曲率から生じ、非可換性パラメータは2fに比例する。ここでfは曲率2形式である。
• シンプレクティックトーラス上のA-brane間の準同型空間は、非可換トーラス上の対応する正則ベクトル束の非可換∂̄-コホモロジーと同型である。
• 2つのA-brane間の準同型空間のオイラー乗数は、非可換設定下でもそれらのチャーン類のMukaiペアリングに等しい。
• 非可換トーラス上の twisted Dirac作用素の指標は、可換極限への連続的変形において不変であり、オイラー乗数が可換ケースと一致することを確認した。
• T-dualityと鏡像対称性との整合性が確認され、非可換計算と鏡像トーラス上のFourier-Mukai変換による計算が、同じオイラー乗数を返すことが示された。