[論文レビュー] Topological sigma-models with H-flux and twisted generalized complex manifolds

Anton Kapustin, Yi Li|ArXiv.org|Jul 28, 2004

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 12被引用数 60

ひとこと要約

本稿では、H-フラックスを伴うN=2シグマ模型におけるトポロジカルAおよびBモデルが、ねじれた一般化された複素幾何学によって支配されることを確立している。これは、1つのねじれた一般化された複素構造に関連するリー代数的バンドルのコホロロジーから観測可能量が生じることを示している。主な結果は、相関関数が1つの構造にのみ依存することであり、非ケーラー的状況における鏡像対称性の幾何的枠組みを提供する。

ABSTRACT

We study the topological sector of N=2 sigma-models with H-flux. It has been known for a long time that the target-space geometry of these theories is not Kahler and can be described in terms of a pair of complex structures, which do not commute, in general, and are parallel with respect to two different connections with torsion. Recently an alternative description of this geometry was found, which involves a pair of commuting twisted generalized complex structures on the target space. In this paper we define and study the analogues of A and B-models for N=2 sigma-models with H-flux and show that the results are naturally expressed in the language of twisted generalized complex geometry. For example, the space of topological observables is given by the cohomology of a Lie algebroid associated to one of the two twisted generalized complex structures. We determine the topological scalar product, which endows the algebra of observables with the structure of a Frobenius algebra. We also discuss mirror symmetry for twisted generalized Calabi-Yau manifolds.

研究の動機と目的

• H-フラックスが非ゼロの状況におけるN=2シグマ模型におけるトポロジカルAおよびBモデルの幾何的記述を拡張すること。
• トポロジカル観測可能量の空間とトポロジカル計量が、被覆多様体上に存在する2つの可換なねじれた一般化された複素構造のうち1つにのみ依存することを示すこと。
• 非コンパクトな例が存在するが非ゼロH-フラックスを伴う場合でも、ねじれた一般化されたカラビ-ヤウ多様体における鏡像対称性を定式化すること。
• リー代数的バンドルコホロロジーを用いて、観測可能量上のフォーブルス代数的構造の幾何的実現を提供すること。
• ねじれた一般化された複素構造の変形とフォーブルス多様体との間の対応関係を確立し、ケーラー幾何学を超えた鏡像対称性の一般化を可能にすること。

提案手法

• 著者らは、直和バンドル $ T M \oplus T^* M $ 上のねじれたドルフマン括弧を用いて、H-フラックス下でのねじれた一般化された複素構造（TGC-構造）を定義し、これが複素構造およびシンプレクティック構造を一般化する。
• 彼らは、H-フラックスを伴うN=2シグマ模型の被覆多様体の幾何は、左移動および右移動の複素構造 $ I_\pm $ とねじれ接続から生じる2つの可換なTGC-構造のペアによって記述されることを示した。
• トポロジカル観測可能量の空間は、2つのTGC-構造のうち1つのものに関連するリー代数的バンドルのコホロロジーと同一視され、観測可能量代数の幾何的実現が得られる。
• トポロジカルスカラー積はH-ねじれ微分 $ d_H $ を用いて構成され、観測可能量代数にフォーブルス代数的構造を導入する。
• 著者らは、ねじれた一般化されたほぼ複素構造の整合性が $ d_H = \partial_H + \bar{\partial}_H $ の分解と同値であることを証明し、代数的および幾何的条件を結びつけた。
• 鏡像対称性は、鏡多様体 $ M $ および $ M' $ 上のTGC-構造の変形に関連するフォーブルス多様体の同型写像として提案された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 被覆多様体がケーラー的でない場合、H-フラックスを伴うN=2シグマ模型におけるAおよびBモデルをどのように幾何的に記述できるか？
• RQ2 ねじれた一般化された複素構造は、これらのモデルのトポロジカル観測可能量およびスカラー積をどのように記述するか？
• RQ3 ねじれた一般化された複素幾何学を用いて、非ケーラー的かつH-フラックスを伴う背景における鏡像対称性を一般化できるか？
• RQ4 観測可能量上のフォーブルス代数的構造は、ねじれた一般化された複素構造の変形とどのように関係するか？
• RQ5 非ゼロH-フラックスを伴うコンパクトなねじれた一般化されたカラビ-ヤウ多様体が存在しないという事実が、鏡像対称性の構成に与える影響は何か？

主な発見

• AモデルおよびBモデルにおけるトポロジカル観測可能量の空間は、被覆多様体上に存在する2つの可換なねじれた一般化された複素構造のうち1つのものに関連するリー代数的バンドルのコホロロジーと同型である。
• 観測可能量代数上のトポロジカルスカラー積は多様体上での積分によって与えられ、コホロロジーにフォーブルス代数的構造を導入する。
• 多様体 $ M $ 上の1つのねじれた一般化された複素構造の変形に対応するフォーブルス多様体は、鏡多様体 $ M' $ 上のもう1つの構造の変形に対応するフォーブルス多様体と同型であり、鏡像対称性が一般化される。
• ねじれた一般化されたほぼ複素構造の整合性は、$ d_H = \partial_H + \bar{\partial}_H $ の分解と同値であり、これは観測可能量代数のコホロロジーを定義するために不可欠である。
• 本稿では、Aモデルの相関関数が1つのTGC-構造に記録されたシンプレクティック的データにのみ依存し、Bモデルの相関関数がもう1つの構造から得られる複素的データにのみ依存することを示しており、予想される双対性が確認された。
• 非ゼロH-フラックスを伴うコンパクトなねじれた一般化されたカラビ-ヤウ多様体の例が存在しないにもかかわらず、この枠組みは非ケーラー的状況における鏡像対称性の整合的な定式化を可能にする。